01/21/1998

量子力学演習


   量子力学演習(白石)     1。 次の一次元空間における波動関数を規格化せよ。      1) ψ(x)= exp (- x2/(4Δ2))      2) ψ(x)= 1/ (x2+a2)1/2     2。 一次元空間のシュレディンガー方程式               を満たす波動関数ψについて,      1) を示せ。ただしここで         とする。      2) ψ=Aeikxと仮定したとき,ρ及びjxを求めよ。
        量子力学演習(白石)     3。        とするとき,       (λは実数)を用いて任意のf(x),g(x)について       が成立すること(Schwartzの不等式)を証明せよ。      ただしとする。     4。 一次元空間で,ポテンシャルのないとき,質量mの粒子を考える。      1) 次の関数はシュレディンガー方程式を満たすことを示せ。                   ただし,C(k)は「よい性質を持つ」任意の関数。      2) C(k)をψ(x,0)を使って表せ。      3) のとき,(A,Δ,k0は定数)         ψ(x,t)を求めよ。      4) ψ(x,t)を用いて       (1) xの期待値及びを求めよ。       (2) 運動量の期待値及びを求めよ。       (3) ρ及びjxを求めよ。
   量子力学演習(白石)     5。 一次元のポテンシャル              中の質量mの粒子の波動関数及びエネルギースペクトルを求めよ。     6。 質量mの粒子が一次元ポテンシャル              の中にいるとき      1) 束縛状態のエネルギーは(エネルギー E<0)次の関係を満たす        ことを示せ。(波動関数ψ)        tan ja=γ/j ただし ψ(-x)=ψ(x) のとき        cot ja=-γ/j ただし ψ(-x)=-ψ(x) のとき      ここでとする。      2)Wとaがどんな値の時でも,少なくともひとつは束縛状態が存在        することを示せ。      3)W→∞かつa→0の極限で,2Waは有限の値bだとすると,どうなるか。
   量子力学演習(白石)     7。 以下に示すポテンシャル              があり,質量mの粒子がエネルギーE(>W>0)を持っている状態を考え      る。波動関数として次の形を仮定する。              このとき      1) |R|2,|T|2を求めよ。反射率,透過率を定義せよ。      2) 流束の保存について確かめよ。     8。 質量m,エネルギーE(0<E<W)の粒子の流れが以下のようなポテン      シャル障壁にぶつかるとする。               1) このとき波動関数として                とすると,|R|2,|T|2及び流束の保存はどうなっているか調べよ。      2) W→∞かつa→0の極限で,Waは有限の値bだとすると,       透過率,反射率はどう書けるか。
   量子力学演習(白石)     9。 一次元の調和振動子のハミルトニアンは次のように書ける。         (m,ωは定数。)       次の2つの演算子を定義する。                      1) 次の関係を示せ。         ,[a,a+]=1      2) [H,a+],[H,a]を求めよ。      3) au0=0を満たすu0を求めよ。u0はHの固有関数になっ        ているか?      4) u0とa+を任意の個数用いて,Hの固有関数を作ることができる。        その固有値と波動関数の規格化を求めよ。      5) Hの各固有状態についてx,x2,p,p2の期待値を求めよ。      6) Hの各固有状態について,運動エネルギーとポテンシャルエネル        ギーの期待値を求めよ。      7) ハミルトニアンに,一様な電場との相互作用項                  がつけ加えられたとき,エネルギー固有値のスペクトルはどうなる        か。
   量子力学演習(白石)    10。 質量mの粒子が一次元ポテンシャル                の中で運動している。ただし,V0>0,a>0,b>0とする。     1) 固有エネルギーE(<V0)の波動関数が偶関数の時は                が成立することを示せ。ただし,                とする。     2) 同様に,波動関数が奇関数の時はどのような関数式が存在するか。     3) V0の値を増加させ,その値が無限大となる極限で,       基底状態(Eが最小の固有状態)のエネルギー固有値は       どのような値に近づくか。また第一励起エネルギーはどうなるか。     4) V0が有限でbが十分小さいときの基底状態のエネルギーを求めよ。
   量子力学演習(白石)    11。 1次元の周期的井戸型ポテンシャルV(x)の中を運動する       質量mの粒子の固有状態を求める。ただしV(x)は               ここでnは任意の整数とする。       (これをKronig-Pennyのポテンシャルという。)     1) このような場合,固有波動関数は次の形に書ける       (Blochの定理)。         ψ(x)=eiσxu(x),u(x+a+b)=u(x)       ここでσは実数とする。これを用いて,エネルギー固有値を       定める式を求め,エネルギー値のスペクトルがバンド構造を       持つことを示せ。     2) |V0|→∞,b→0の極限でかつ|V0|b=g(>0)が有限のとき,       エネルギースペクトルはどうなるか。V0が正,負,の場合に       考察せよ。       3) 2)の場合で,V0が負のとき,さらに,E<0       としたとき,Eをσの関数E(σ)とみて,グラフ上に       図示せよ。E(π/(2a))の値はいくらか?     4) 同様に,2)の場合で,V0が負のときを考える。       のときにE(σ)のグラフをかけ。      参考文献:阿部寛 Mathematicaでみる数理物理入門II 講談社サイエンティフィク p. 47           安田了・藤村行俊 Macintosh理系のスーパー技法 アジソン・ウェスレイ・パブリッシャーズ・ジャパン発行星雲社 p. 213
       
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