%Kiyoshi Shiraishi:宇宙物理学特論(MC) %
08/10/2000
%

宇宙物理学特論(MC)


%

全然未完成です。当分完成しそうもない。


%LaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi 1997-1999
\documentstyle[12pt,graphics]{jarticle}
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\nn}{\nonumber \\}

\newcommand{\vnabla}{{\bf \nabla}}
\newcommand{\vsigma}{\vec{\sigma}}
%\newcommand{\vsigma}{{\bf \sigma}}
\newcommand{\vA}{{\bf A}} %vector potential
\newcommand{\vB}{{\bf B}} %
\newcommand{\vD}{{\bf D}}
\newcommand{\vE}{{\bf E}}
\newcommand{\vF}{{\bf F}}
\newcommand{\vg}{{\bf g}}
\newcommand{\vH}{{\bf H}}
\newcommand{\vI}{{\bf I}}
\newcommand{\vi}{{\bf i}}
\newcommand{\vJ}{{\bf J}}
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\newcommand{\vP}{{\bf P}}
\newcommand{\vp}{{\bf p}}
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\newcommand{\vy}{{\bf y}}
\newcommand{\vzero}{{\bf 0}}
\newcommand{\tr}{{\rm tr}}
\newcommand{\Tr}{{\rm Tr}}
\newcommand{\bx}{{x\!\!\!\mbox{-~}}}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 1.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{宇宙物理学特論(MC)}
\author{
白石 清(山口大学理学部)
}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
相対論的宇宙論の話。
\end{abstract}

\newpage
\tableofcontents


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent
・宇宙物理学ってなに?

\smallskip

 天体物理学 Astrophysics    天体とか

                                銀河をつくる

 宇宙論   Cosmology      宇宙の発展 (初期宇宙)

\bigskip

本講義では,おもに「宇宙論」の話。

\bigskip

宇宙全体を扱うので,一般相対論(的重力理論)は必要不可欠。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{一般相対性理論の復習}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{時空の計量}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  時空の計量を線素(line element)で表す。
\be
-ds^2=\underbrace{g_{\mu\nu}}_{計量(metric)}
 dx^{\mu} dx^{\nu}
\ee

これは「時空の距離の二乗」
\footnote{$$-ds^2=
\underbrace{\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3}_{省略}
g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$$}

$$\mu,\nu,\cdots=0,1,2,3$$
$$(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$$
            
\begin{quote}
\underline{例} 平坦(flat)な時空

     Minkowski時空

\bea
-ds^2&=&-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 \nn
&=&\eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}
\eea

\be
(\eta_{\mu\nu})=\left(
\begin{array}{cccc}
 -1 &    &    & \\
   & 1 &    & \\
   &    & 1 & \\
   &    &    & 1
\end{array}
\right).
\ee

\be
\eta_{\mu\nu}=\underbrace{diag.}_{対角成分}
(-1,1,1,1)
\ee
\end{quote}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{自由粒子の運動}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 (一般に)

 曲がった時空内での

    自由粒子の運動

     ↑

    重力以外の力は入ってない

\bigskip

以下,特に必要な場合以外は,$c=1$とする。

\bigskip

自由粒子のaction
\be
I=-m\int_A^B ds
\ee

あるいは,「任意の」パラメータ$\tau$を使って
\be
I=-m\int\sqrt{-g_{\mu\nu}(x^{\lambda})
\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}}d\tau
\ee

$x^{\mu}(\tau)$は粒子の座標。

\bigskip

これから運動の方程式は
Euler-Lagrange equation (E-L eq.)
をつくれば求められる。

つまり
\be
I=\int L d\tau
\ee

としたとき,E-L eq.は
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\mu}}
\right)-\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=0
\ee

ただしここで
\be
\dot{x}^{\mu}\equiv\frac{dx^{\mu}}{d\tau}
\ee

である。

\bigskip

\be
L=-m\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}
\ee

について

\be
\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\lambda}}=
-m\frac{-2g_{\lambda\nu}\dot{x}^{\nu}}%
{2\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}=
m\frac{g_{\lambda\nu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}
\ee

\be
\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda}}=
-m\frac{-\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}%
{2\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}=
m\frac{\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}
\ee

であるから,E-L eq.は
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{g_{\lambda\nu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}\right)-
\frac{\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}=0
\ee

となる。

\bigskip

ここで
\be
ds\equiv\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}d\tau
\ee

とすると,方程式は次のように簡単になる。
\be
\frac{d}{ds}\left(g_{\lambda\nu}\frac{dx^{\nu}}{ds}\right)-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee

つまり

\be
g_{\lambda\nu}\frac{d^2x^{\nu}}{ds^2}+
\frac{dx^{\rho}}{ds}\frac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x^{\rho}}
\frac{dx^{\nu}}{ds}-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee

 ここで$g_{\lambda\nu}$の逆$g^{\sigma\lambda}$をつかう。
\be
g^{\sigma\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta_{\nu}^{\sigma}
\ee

E-L eq.は次のようになる。
\be
\frac{d^2x^{\sigma}}{ds^2}+
g^{\sigma\lambda}\frac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x^{\rho}}
\frac{dx^{\rho}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}-
\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}
\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee

\bigskip

これは最終的に次のようにまとめられる。
\be
\frac{d^2x^{\sigma}}{ds^2}+
\Gamma_{\rho\nu}^{\sigma}
\frac{dx^{\rho}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee

ここで
\be
\Gamma_{\rho\nu}^{\sigma}\equiv
\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}\left(
\frac{\partial g_{\lambda\rho}}{\partial x^{\nu}}+
\frac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x^{\rho}}-
\frac{\partial g_{\rho\nu}}{\partial x^{\lambda}}\right)
\ee

\bigskip

平坦な時空の場合はE-L eq.は
\be
\frac{d^2x^{\sigma}}{ds^2}=0
\ee

となり,その解は
\be
x^{\sigma}(s)=a^{\sigma}s+b^{\sigma}
\ee

\begin{quote}
\be
-g_{00}\approx 1+\frac{2\phi}{c^2}
\ee
としたとき,
非相対論的近似で粒子の運動方程式はどう書けるか。

(ただし,$\phi$はニュートンの重力ポテンシャル。)
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{重力場の方程式}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 重力場の方程式,すなわち計量の満たす方程式。

\bigskip

Einstein方程式
\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=
\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee

ここで$G$はニュートンの重力定数

$T_{\mu\nu}$は物質のエネルギー運動量テンソル

\bigskip

リーマンテンソル
\be
R^{\lambda}{}_{\sigma\mu\nu}\equiv
\partial_{\mu}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma}-
\partial_{\nu}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma}+
\Gamma^{\lambda}_{\mu\rho}\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}-
\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho}\Gamma^{\rho}_{\mu\sigma}
\ee

(ここで$\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$)

リッチテンソル
\be
R_{\sigma\nu}\equiv R^{\lambda}{}_{\sigma\lambda\nu}
\ee

スカラー曲率
\be
R\equiv g^{\sigma\nu}R_{\sigma\nu}
\ee

   これらはみなテンソル

\bigskip

テンソルとは?

  例えば ベクトル

\be
A_{\mu}\rightarrow 
{A_{\mu}}'=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial {x^{\mu}}'}
A_{\nu}
\ee

   例
    一般に$\partial_{\mu}A_{\nu}$はテンソルではない


   $\partial_{\mu}A_{\nu}-\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}A_{\lambda}$
はテンソル

   $\partial_{\mu}B^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}B^{\lambda}$
はテンソル

\bigskip

\noindent
\underline{電磁相互作用の類推}

波動関数 $\psi$ に対して

 位相変換 $\psi\rightarrow e^{i\lambda}\psi$

\bigskip

$\vnabla\psi$は(局所的)位相変換に対して
\bea
\vnabla\psi&\rightarrow&\vnabla\left(e^{i\lambda}\psi\right) \nn
&=&e^{i\lambda}\left(\vnabla\psi+i(\vnabla\lambda)\psi\right)
\eea

となるので,位相だけの変換の形とならない。

\bigskip

そこで次のもの(minimal coupling)を考える。
\be
\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi
\ee

$\vA$の変換性はいまわからないとしておき,
\be
\vA\rightarrow\vA'
\ee

とする。

\bigskip

位相変換に対して
\bea
\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi&\rightarrow&
\left(\vnabla-iq\vA'\right)e^{i\lambda}\psi \nn
&=&e^{i\lambda}\left(\vnabla\psi+i(\vnabla\lambda)\psi
-iq\vA'\psi\right)
\eea

となるので
\be
\vA'=\vA+\frac{i}{q}\vnabla\lambda
\ee

とすれば
\be
\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi\rightarrow
e^{i\lambda}\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi \nn
\ee

となり,$\psi$と$\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi$は
全く同じような位相の変化のみとなる。

\bigskip


 一般座標変換に対して
   $\partial_{\mu}A_{\nu}-\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}A_{\lambda}$
や

   $\partial_{\mu}B^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}B^{\lambda}$
は
 テンソルとして変換する。

\bigskip

 磁場の強さ

\bea
\vB&=&\vnabla\times\vA \\
F_{ij}&=&\partial_iA_j-\partial_jA_i \\
B_k&=&\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F^{ij}
\eea

$D_i\psi\equiv(\partial_i-iqA_i)\psi$とする。このとき
\bea
\left[D_i,D_j\right]\psi&\equiv&
\left(D_iD_j-D_jD_i\right)\psi \nn
&=&-iq\left(\partial_iA_j-\partial_jA_i\right)\psi \nn
&=&-iqF_{ij}\psi
\eea

位相変換に対して,$F_{ij}$が不変なことは,この導出により
自動的にわかる。

\bigskip

では,共変微分からつくられるテンソルは?

\bigskip

\be
\nabla_{\mu}A_{\nu}\equiv\partial_{\mu}A_{\nu}-
\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}A_{\lambda}
\ee

\bea
& &\left[\nabla_{\rho},\nabla_{\sigma}\right]A_{\mu} \nn
&=&
\partial_{\rho}\left(\nabla_{\sigma}A_{\mu}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\sigma}\left(\nabla_{\lambda}A_{\mu}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\left(\nabla_{\sigma}A_{\lambda}\right)-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
\partial_{\rho}\left(\partial_{\sigma}A_{\mu}-
\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}A_{\tau}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\left(\partial_{\sigma}A_{\lambda}-
\Gamma^{\tau}_{\sigma\lambda}A_{\tau}\right)-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
-\left(\partial_{\rho}\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}\right)A_{\tau}-
-\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}\left(\partial_{\rho}A_{\tau}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\partial_{\sigma}A_{\lambda}+
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\Gamma^{\tau}_{\sigma\lambda}A_{\tau}-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
-\left(\partial_{\rho}\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\Gamma^{\tau}_{\sigma\lambda}\right)A_{\tau}-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
-R^{\tau}{}_{\mu\rho\sigma}A_{\tau}
\eea

ここで
\be
R^{\nu}{}_{\mu\rho\sigma}=\partial_{\rho}\Gamma^{\nu}_{\sigma\mu}-
\partial_{\sigma}\Gamma^{\nu}_{\rho\mu}+
\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}\Gamma^{\nu}_{\rho\lambda}-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\lambda}
\ee

これはテンソルである。リーマンテンソルと呼ぶ。

\bigskip

リッチテンソルは
\be
R_{\mu\sigma}=R^{\nu}{}_{\mu\nu\sigma}
\ee

\bigskip

スカラー曲率は
\be
R=g^{\mu\sigma}R_{\mu\sigma}
\ee


\bigskip

アインシュタイン方程式
\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{一様等方な宇宙}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{一様等方な空間と時空の計量}

\underline{宇宙原理}

    宇宙(空間)は一様で等方である

 \underline{宇宙時間}  がとれる

 計量
\be
-ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\underbrace{d\Omega_{(3)}^2}_{%
3次元空間の線素}
\ee

$a(t)$が長さの次元をもつとする。

$a(t)$は,スケールファクター

(空間座標は次元なし)

\bigskip

\bea
d\Omega_{(3)}^2(0)&=&dx^2+dy^2+dz^2 \nn
&=&d\chi^2+\chi^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\eea

\be
d\Omega_{(3)}^2(+)=
d\chi^2+\sin^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee

\be
d\Omega_{(3)}^2(-)=
d\chi^2+\sinh^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee

\bigskip

4次元空間内の3次元(単位)球面
\be
(X_1)^2+(X_2)^2+(X_3)^2+(X_4)^2=1
\ee

\be
\left\{
\begin{array}{l}
X_1=\sin\chi\sin\theta\cos\varphi \\
X_2=\sin\chi\sin\theta\sin\varphi \\
X_3=\sin\chi\cos\theta \\
X_4=\cos\chi
\end{array}\right.
\ee

\be
(dX_1)^2+(dX_2)^2+(dX_3)^2+(dX_4)^2=
d\chi^2+\sin^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee

\bigskip

4次元(非ユークリッド)空間内の3次元(単位)双曲面
\be
(X_1)^2+(X_2)^2+(X_3)^2-(X_4)^2=-1
\ee

\be
\left\{
\begin{array}{l}
X_1=\sinh\chi\sin\theta\cos\varphi \\
X_2=\sinh\chi\sin\theta\sin\varphi \\
X_3=\sinh\chi\cos\theta \\
X_4=\cosh\chi
\end{array}\right.
\ee

\be
(dX_1)^2+(dX_2)^2+(dX_3)^2-(dX_4)^2=
d\chi^2+\sinh^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee

\bigskip

まとめると
\be
-ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\left[d\chi^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)\right]
\ee

$\chi<<1$のとき

$\sin^2\chi\approx\chi^2\approx\sinh^2\chi$ (われわれの近くでは区別がつかない)

\subsection{スケールファクターの満たす方程式}

\subsubsection{曲率の計算}

Einstein方程式の左辺につかうため
$R_{\mu\nu}$と$R$を計算する。

\be
R_{\mu\sigma}=\partial_{\nu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\mu}-
\partial_{\sigma}\Gamma^{\nu}_{\nu\mu}+
\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}\Gamma^{\nu}_{\nu\lambda}-
\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\lambda}
\ee

\bigskip

 まず$\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}$を求める。

\bigskip

 粒子の運動方程式
\be
\ddot{x}^{\mu}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\dot{x}^{\nu}
\dot{x}^{\sigma}=0
\ee

ここでは,$s$のかわりに$\tau$とした。
パラメータなので,何をとってもよい。

\bigskip

この方程式は,前に$L$からE-L eq.として導かれたが,
同じ式は次の$\tilde{L}$からも同様に導かれることがわかる。

\be
\tilde{L}=\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}
\ee

このほうが簡単。

これに具体的な計量を入れてから,
E-L eq.を書き下してみよう。

\bigskip

\be
\tilde{L}=\frac{1}{2}\left\{-\dot{t}^2+a^2(t)\left[\dot{\chi}^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)\right]\right\}
\ee

ここで$c=1$とした。

\bigskip

E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{t}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial t}=0
\ee

より
\be
-\ddot{t}-a\frac{da}{dt}\left[\dot{\chi}^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)\right]=0
\label{eq:EL0}
\ee

\bigskip

E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\chi}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\chi}=0
\ee

より
\be
\frac{d}{d\tau}\left(a^2\dot{\chi}\right)-a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)=0
\label{eq:EL1}
\ee

\bigskip

E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\theta}=0
\ee

より
\be
\frac{d}{d\tau}\left(a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\dot{\theta}\right)-a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0
\label{eq:EL2}
\ee

\bigskip

E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\varphi}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\varphi}=0
\ee

より
\be
\frac{d}{d\tau}\left(a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\dot{\varphi}\right)=0
\label{eq:EL3}
\ee

\bigskip

(\ref{eq:EL0})より
\be
\ddot{t}+a\frac{da}{dt}\left[\dot{\chi}^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)\right]=0
\ee

運動方程式と係数を比較すると,次のものがわかる。
\be
\Gamma^0_{11}=a\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^0_{22}=a\frac{da}{dt}\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^0_{33}=\Gamma^0_{22}\sin^2\theta
\ee

\bigskip

(\ref{eq:EL1})より
\be
\ddot{\chi}+2\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\dot{t}\dot{\chi}-
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)=0
\ee

運動方程式と係数を比較すると,次のものがわかる。
\be
\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^1_{22}=-
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^1_{33}=\Gamma^1_{22}\sin^2\theta
\ee

\bigskip

(\ref{eq:EL2})より
\bea
& &a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\ddot{\theta}+
2a\frac{da}{dt}
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\dot{t}\dot{\theta} \nn
&+&
2a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\dot{\chi}\dot{\theta}-a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0
\eea

運動方程式と係数を比較すると,次のものがわかる。
\be
\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^2_{33}=-\sin\theta\cos\theta
\ee

\bigskip

(\ref{eq:EL3})より
\bea
& &a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\ddot{\varphi}+
2a\frac{da}{dt}
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\dot{t}\dot{\varphi} \nn
&+&
2a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\dot{\chi}\dot{\varphi}+
2a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin\theta\cos\theta\dot{\theta}\dot{\varphi}=0
\eea

運動方程式と係数を比較すると,次のものがわかる。
\be
\Gamma^3_{03}=\Gamma^3_{30}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\ee

\bigskip

まとめると

\bigskip

\be
\Gamma^0_{11}=a\frac{da}{dt}
\ee

\be
\Gamma^0_{22}=a\frac{da}{dt}\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^0_{33}=\Gamma^0_{22}\sin^2\theta
\ee

\be
\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}=\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}=
\Gamma^3_{03}=\Gamma^3_{30}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt}
\ee

\be
\Gamma^1_{22}=-
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^1_{33}=\Gamma^1_{22}\sin^2\theta
\ee

\be
\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\}
\ee

\be
\Gamma^2_{33}=-\sin\theta\cos\theta,~~~
\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\ee

\bigskip

これらを用いると
\be
\Gamma^{\nu}_{\nu 0}=\Gamma^1_{10}+\Gamma^2_{20}+\Gamma^3_{30}=
3\frac{1}{a}\frac{da}{dt}
\ee

\be
\Gamma^{\nu}_{\nu 1}=\Gamma^2_{21}+\Gamma^3_{31}=
2\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\}
\ee

\be
\Gamma^{\nu}_{\nu 2}=\Gamma^3_{32}=
\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\ee

\bigskip

リッチテンソルの成分の計算

\be
R_{\mu\sigma}=\partial_{\nu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\mu}-
\partial_{\sigma}\Gamma^{\nu}_{\nu\mu}+
\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}\Gamma^{\nu}_{\nu\lambda}-
\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\lambda}
\ee

\bigskip

\bea
R_{00}&=&0-3\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)+
0-3\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)^2 \nn
&=&-3\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)-3
\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)^2 \nn
&=&-3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}
\eea

\bigskip

\bea
R_{11}&=&\frac{d}{dt}\left(a\frac{da}{dt}\right)-
2\left\{\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sin^2\chi} \\
-\frac{1}{\chi^2} \\
-\frac{1}{\sinh^2\chi}
\end{array}\right\} \nn
&+&
\left(a\frac{da}{dt}\right)\left(3\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)-
\left(2a\frac{da}{dt}\frac{1}{a}\frac{da}{dt}+2
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos^2\chi}{\sin^2\chi} \\
\frac{1}{\chi^2} \\
\frac{\cosh^2\chi}{\sinh^2\chi}
\end{array}\right\}\right) \nn
&=&a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2
\left\{\begin{array}{c}
+1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right\}
\eea

\bigskip

$R_{22}$,$R_{33}$について計算してみよ。

他の成分は?

\bigskip

 まとめ

\bigskip

\bea
R_{00}&=&-3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2} \\
R_{11}&=&a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2k \\
R_{22}&=&\left[a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2k
\right]\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\} \\
R_{33}&=&\left[a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2k
\right]\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}\sin^2\theta
\eea

ここで
\be
k=\left\{\begin{array}{c}
+1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right\}
\ee

\bigskip

なお,その他の成分はゼロ。

\bigskip

さらにまとめると

\bea
R_{00}&=&-3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2} \\
R_{ij}&=&\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+2
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]
\right\}g_{ij}
\eea

($i,j=1,2,3$)

\bea
-ds^2&=&-dt^2+g_{ij}dx^idx^j \\
&=&-dt^2+a^2\left[d\chi^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)\right]
\eea

\bigskip

スカラー曲率
\bea
R&=&g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \nn
&=&3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+3
\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+2
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\} \nn
&=&6
\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}
\eea

\bigskip

アインシュタイン方程式
\be
R^{\mu}_{\nu}-\frac{1}{2}\delta^{\mu}_{\nu}R=8\pi G T^{\mu}_{\nu}
\ee

の左辺は

\bea
R^{0}_{0}-\frac{1}{2}R&=&
3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}-3
\left\{\frac{1}{a}a\frac{d^2a}{dt^2}+\left[
\frac{1}{a^2}\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\} \nn
&=&-3
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]
\eea

\bea
R^{i}_{j}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{j}R&=&
\left[\left\{\frac{1}{a}a\frac{d^2a}{dt^2}+2
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}\right. \nn
&-&3\left.
\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}\right]
\delta^{i}_{j} \nn
&=&\left\{-2\frac{1}{a}a\frac{d^2a}{dt^2}-
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}
\delta^{i}_{j}
\eea

\subsubsection{エネルギー運動量テンソル}


アインシュタイン方程式の右辺

 一様等方性より
\be
T^{\mu}_{\nu}=diag.(-\rho,p,p,p)
\ee

 (エネルギー)密度:$\rho$

        圧力:$p$

\bigskip

 ちなみに
\be
T^{\mu}_{\nu}=(\rho+p)u^{\mu}u_{\nu}+p\delta^{\mu}_{\nu}
\ee

\be
u^{\mu}=(1,0,0,0)
\ee

\bigskip

\bea
T^0_0&=&-\rho \\
T^i_j&=&p\delta^i_j
\eea

\bigskip

これから,一様等方宇宙での
Einstein方程式は次の2式に帰着する。

\bea
3\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]&=&
8\pi G\rho \label{eq:E1}\\
2\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]&=&
-8\pi G p \label{eq:E2}
\eea

\bigskip

 物質に関わる式を出す。

\bigskip

 (\ref{eq:E1})から
\be
\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]=
\frac{8\pi G}{3}\rho a^2
\ee

 これを微分
\be
2\frac{da}{dt}\frac{d^2a}{dt^2}=
\frac{8\pi G}{3}\left(\frac{d\rho}{dt} a^2+
2\rho a\frac{da}{dt}\right)
\label{eq:E3}
\ee

 (\ref{eq:E2})から
\be
2\frac{da}{dt}\frac{d^2a}{dt^2}+a\frac{da}{dt}
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]=
-8\pi G p a\frac{da}{dt}
\label{eq:E4}
\ee

 (\ref{eq:E3})と(\ref{eq:E4})の差より

\be
-a\frac{da}{dt}
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]=
\frac{8\pi G}{3}\left(\frac{d\rho}{dt} a^2+
2\rho a\frac{da}{dt}+3 p a\frac{da}{dt}
\right)
\ee

 この左辺に(\ref{eq:E1})を代入
\be
-a\frac{da}{dt}
\frac{8\pi G}{3}\rho=
\frac{8\pi G}{3}\left(\frac{d\rho}{dt} a^2+
2\rho a\frac{da}{dt}+3 p a\frac{da}{dt}
\right)
\ee

整理すると
\be
\frac{d\rho}{dt}+3
\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\left(\rho+p\right)=0
\ee

または
\be
\frac{d}{dt}\left(\rho a^3\right)+p
\frac{d}{dt}\left(a^3\right)=0
\ee

 これが物質の保存の式になっている。

\begin{quote}
\noindent
\underline{exercise}

\be
T^{\mu}_{\nu}=(\rho+p)u^{\mu}u_{\nu}+p\delta^{\mu}_{\nu}
\ee

を用い,
\be
\nabla_{\mu}T^{\mu}_{\nu}=0
\ee

は,物質の保存の式になることをたしかめよ。

 ($u^{\mu}u_{\mu}=-1$を使う。)
\end{quote}

\be
d\left(\rho a^3\right)+p
d\left(a^3\right)=0
\ee

$a^3\propto V$(体積)と思うと

$\rho a^3\propto U$(全エネルギー),ゆえに

\be
dU+pdV=0=TdS
\ee

という熱力学第一法則と解釈できる。

$S$はエントロピー。・・・一定

\bigskip

Einstein方程式(\ref{eq:E1})(\ref{eq:E2})を解くには

     状態方程式が必要  (十分)

 例: $p=\rho^{\gamma}$

\bigskip

まず,現在の

 われわれの宇宙のモデルとして

\be
p<<\rho
\ee

 を仮定してみる。

\bigskip

 銀河→質点

 十分大きな体積で平均してみてやる

    物質としては圧力$=0$

   のdust(ちり)のようなもの

\bigskip

$p=0$とおくと
\be
\frac{d}{dt}\left(\rho a^3\right)=0
\ee

\be
\rho a^3=一定
\ee

\bigskip

 このとき($p=0$)
 (\ref{eq:E1})を変形
\be
\underbrace{\frac{1}{2}\left(\frac{da}{dt}\right)^2}_{%
運動エネルギー}\underbrace{-\frac{G\frac{4\pi}{3}a^3\rho}{a}}_{%
ポテンシャルV(a)}=\underbrace{-\frac{1}{2}}_{%
全エネルギー}
\ee

$k=0,k=-1$・・・どんどん膨張

$k=+1$・・・いつか戻る(収縮に転じる)

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{dust宇宙の発展}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

ここからは,特に断らない限り,
\be
\dot{a}\equiv\frac{da}{dt}
\ee

とする。

\subsection{膨脹宇宙の物理量}

\be
H(t)\equiv\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}
\ee

\be
q(t)\equiv -\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}\frac{1}{H^2(t)}
\ee

\begin{quote}
\noindent
\underline{exercise}

$H$,$q$の次元は?
\end{quote}

dust宇宙では$\rho>>p$,したがって$p=0$と近似できる。

 (\ref{eq:E1})より
\be
H^2(t)+\frac{k}{a^2(t)}=\frac{8\pi G}{3}\rho
\ee

 (\ref{eq:E1})より
\be
-2H^2(t)q(t)+H^2(t)+\frac{k}{a^2(t)}=0
\ee

すなわち
\bea
2q(t)-1&=&\frac{k}{a^2(t)H^2(t)} \\
\rho(t)&=&\frac{3H^2(t)}{8\pi G}+\frac{3}{8\pi G}
\frac{k}{a^2(t)}
\eea

\bigskip

 現在の時刻を$t_0$とする。
\be
H_0\equiv H(t_0),~~~q_0\equiv q(t_0),~~~a_0\equiv a(t_0)
\ee

 とする。

$q_0$:(現在の)減速パラメータ

\be
2q_0-1=\frac{k}{a^2_0H^2_0}
\ee

より
\bea
q_0>\frac{1}{2}&\leftrightarrow&k=+1 \\
q_0=\frac{1}{2}&\leftrightarrow&k= 0 \\
q_0<\frac{1}{2}&\leftrightarrow&k=-1
\eea

 原理的には観測から空間の形(曲率)に区別がつく。

\bigskip

$H_0$:(現在の)Hubble定数(スケールファクターの「膨張率」)

\be
\rho_0=\frac{3H^2_0}{8\pi G}+\frac{3}{8\pi G}
\frac{k}{a^2_0}
\ee

$\rho_c$:臨界密度 を次で定義する。
\be
\rho_c\equiv\frac{3H^2_0}{8\pi G}
\ee

\bea
\rho_0>\rho_c&\leftrightarrow&k=+1 \\
\rho_0=\rho_c&\leftrightarrow&k= 0 \\
\rho_0<\rho_c&\leftrightarrow&k=-1
\eea

\bigskip

$\Omega_0$:密度パラメータ を次で定義する。
\be
\Omega_0\equiv\frac{\rho_0}{\rho_c}
\ee

\be
\Omega_0-1=\frac{k}{a^2_0H^2_0}
\ee

\bea
\Omega_0>1&\leftrightarrow&k=+1 \\
\Omega_0=1&\leftrightarrow&k= 0 \\
\Omega_0<1&\leftrightarrow&k=-1
\eea

\subsection{dust宇宙のスケールファクターの解}

\subsubsection{厳密解}

 (\ref{eq:E1})より
\be
\frac{\dot{a}^2}{a^2}+\frac{k}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho
\ee

\bea
\dot{a}^2+k&=&\frac{8\pi G}{3}\rho a^2 \nn
&=&\frac{8\pi G}{3}\rho a^3 \frac{1}{a} \nn
&=&\frac{8\pi G}{3}\rho_0 a_0^3 \frac{1}{a}
\eea

\be
\left(\frac{\dot{a}}{a_0})\right)^2+\frac{k}{a_0^2}=
\frac{8\pi G}{3}\rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)
\ee

 ここで
\bea
\frac{8\pi G}{3}\rho_0&=&H_0^2+\frac{k}{a_0^2} \\
2 q_0-1&=&\frac{k}{a_0^2H_0^2}
\eea

 を代入
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a_0})\right)^2=
H_0^2\left\{\left(1-2q_0\right)+2q_0\frac{a_0}{a}\right\}
\ee

 ここで
\be
x(t)\equiv\frac{a(t)}{a_0}
\ee

 $t=0$で$x=0$とすると
\be
t=\frac{1}{H_0}\int_0^x \frac{dx'}{%
\sqrt{\left(1-2q_0\right)+2q_0\frac{1}{x'}}}
\ee


 一番簡単なのは,$k=0$すなわち$q_0=\frac{1}{2}$のとき。

\bigskip

\noindent
\underline{$q_0=\frac{1}{2}$ $(k=0)$の場合}

\bea
t&=&\frac{1}{H_0}\int_0^x \frac{dx'}{\sqrt{\frac{1}{x'}}} \nn
&=&\frac{1}{H_0}\int_0^x \sqrt{x'} dx' \nn
&=&\frac{2}{3H_0}x^{3/2}
\eea

したがって
\be
x=\frac{a}{a_0}=\left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3}
\ee

 ただし$t_0=\frac{2}{3H_0}$

図を参照。\footnote{%
$H_0=\dot{x}|_{t=t_0}$に注意。}

\bigskip

\noindent
\underline{$q_0>\frac{1}{2}$ $(k=+1)$の場合}

 この場合
 変数$x$を次のようにとる
\be
x=\frac{q_0}{2q_0-1}\left(1-\cos\theta\right)
\ee

\be
dx'=\frac{q_0}{2q_0-1}\sin\theta' d\theta'
\ee

\bea
t&=&\frac{1}{H_0}\int_0^{\theta}
\frac{\frac{q_0}{2q_0-1}\sin\theta' d\theta'}{%
\sqrt{\left(2q_0-1\right)\left(-1+\frac{2}{1-\cos\theta'}\right)}} \nn
&=&\frac{1}{H_0}\frac{q_0}{\left(2q_0-1\right)^{3/2}}\int_0^{\theta}
\sqrt{\frac{1-\cos\theta'}{1+\cos\theta'}}\sin\theta' d\theta' \nn
&=&\frac{1}{H_0}\frac{q_0}{\left(2q_0-1\right)^{3/2}}\int_0^{\theta}
\frac{\sin\frac{\theta'}{2}}{\cos\frac{\theta'}{2}}2\sin\frac{\theta'}{2}
\cos\frac{\theta'}{2} d\theta' \nn
&=&\frac{1}{H_0}\frac{2q_0}{\left(2q_0-1\right)^{3/2}}\int_0^{\theta}
\sin^2\frac{\theta'}{2} d\theta' \nn
&=&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\left(\theta-\sin\theta\right)
\eea

\be
\frac{1}{a_0^2H_0^2}=2q_0-1
\ee

を用いて,まとめると,($a=a_0x$)
\bea
a&=&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\left(1-\cos\theta\right) \\
t&=&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\left(\theta-\sin\theta\right)
\eea

図のようなサイクロイド曲線のグラフが書ける。


\bigskip

\noindent
\underline{$q_0<\frac{1}{2}$ $(k=-1)$の場合}

 この場合
 変数$x$を次のようにとる
\be
x=\frac{q_0}{1-2q_0}\left(\cosh\psi-1\right)
\ee

\be
dx'=\frac{q_0}{1-2q_0}\sinh\psi' d\psi'
\ee

を使って同様に計算すると
\be
t=\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\left(\sinh\psi-\psi\right)
\ee

\be
\frac{-1}{a_0^2H_0^2}=2q_0-1
\ee

を用いて,まとめると,($a=a_0x$)
\bea
a&=&\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\left(\cosh\psi-1\right) \\
t&=&\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\left(\sinh\psi-\psi\right)
\eea

この場合,
\be
\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{a}{t}=1
\ee

\subsubsection{$t\approx 0$のふるまい}

\noindent
\underline{$q_0>\frac{1}{2}$ $(k=+1)$の場合}

$t\approx 0\rightarrow \theta\approx 0$

\bea
x&\approx&\frac{q_0}{2q_0-1}\frac{\theta^2}{2} \\
t&\approx&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\frac{\theta^3}{6}
\eea

なので
\be
x\approx\left(2q_0\right)^{1/3}\left(
\frac{3H_0}{2}t\right)^{2/3}
\ee

\noindent
\underline{$q_0<\frac{1}{2}$ $(k=-1)$の場合}

$t\approx 0\rightarrow \psi\approx 0$

\bea
x&\approx&\frac{q_0}{1-2q_0}\frac{\psi^2}{2} \\
t&\approx&\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\frac{\psi^3}{6}
\eea

なのでやはり
\be
x\approx\left(2q_0\right)^{1/3}\left(
\frac{3H_0}{2}t\right)^{2/3}
\ee

\bigskip

dust宇宙の初期では,
\be
x\approx\left(2q_0\right)^{1/3}\left(
\frac{3H_0}{2}t\right)^{2/3}
\ee

\bigskip

方程式(\ref{eq:E1})において,
$\rho\propto a^{-3}$であるので,$a$が小さいとき,
曲率項($k/a^2$)よりも密度の項が支配的である。

したがって,宇宙初期のスケールファクターの振る舞いは
曲率によらない。


\subsubsection{宇宙の年齢}

方程式(\ref{eq:E2})
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^2+k}{a^2}=0
\ee

と(\ref{eq:E1})をつかうと
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{8\pi G}{3}\rho <0
\ee

ゆえに$a(t)$のグラフは上に凸

  ゆえに過去に必ず$a=0$になるときがある。

\bigskip

\noindent
\underline{dust宇宙での宇宙年齢}


\bigskip

\noindent
\underline{$q_0=\frac{1}{2}$ $(k=0)$の場合}

宇宙の年齢 $t_0=\frac{2}{3H_0}$


\bigskip

\noindent
\underline{$q_0>\frac{1}{2}$ $(k=+1)$の場合}

宇宙の年齢 $t_0<\frac{2}{3H_0}$

\bigskip

\noindent
\underline{$q_0<\frac{1}{2}$ $(k=-1)$の場合}

宇宙の年齢 $\frac{2}{3H_0}\frac{2}{3H_0}
\ee

\bigskip

 なぜ年齢がのびるか
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^2}{a^2}=\Lambda
\ee
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}=\frac{2}{3}\Lambda-\frac{8\pi G}{3}\rho
\ee

右辺第一項が右辺第二項よりも大きいときは$\ddot{a}>0$となるため。

\subsubsection{近似による宇宙年齢}

$t_0$を近似で求めたい。

\bigskip

  ・どこかで($t=t_1$)
\be
\frac{8\pi G}{3}\rho_0\frac{a_0^3}{a_1^3}=\frac{\Lambda}{3}
\ee

となる。すなわち$rho$と$\Lambda$の寄与が同じ程度となる。

このとき
\be
\frac{a_0^3}{a_1^3}=\frac{\Lambda}{8\pi G\rho_0}=\frac{\lambda_0}{\Omega_0}
\ee

\bigskip

$tt_1$では,宇宙項のみが方程式に効くとする。
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{\Lambda}{3}
\ee

の解は
\be
a\propto e^{\sqrt{\Lambda/3}t}
\ee

\be
\frac{\dot{a}}{a}=\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}=H_0
\ee

とすれば
\be
a=a_0 e^{H_0(t-t_0)}
\ee

\bigskip

$t=t_1$で2つの解をなめらかにつなげる。
\be
a_1=a_0 e^{H_0(t_1-t_0)}
\ee
\be
\frac{2}{3}a_1\frac{1}{t_1}=H_0a_0 e^{H_0(t_1-t_0)}
\ee

したがって
\be
\frac{2}{3t_1}=H_0
\ee

宇宙年齢は
\bea
t_0&=&t_1+(t_0-t_1) \nn
&=&\frac{2}{3H_0}+
\frac{1}{3H_0}\ln\left(\frac{a_0}{a_1}\right)^3 \nn
&=&\frac{2}{3H_0}+
\frac{2}{3H_0}\ln\left(\sqrt{\frac{\lambda_0}{1-\lambda_0}}\right) \nn
&=&\frac{2}{3H_0}
\ln\left(\frac{\sqrt{\lambda_0}e}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)
\eea

\bigskip

厳密な値との比較
\bea
t_0&=&\frac{2}{3H_0}\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}\ln\left(
\frac{1+\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right) \nn
&=&\frac{2}{3H_0}\ln\left(
\frac{1+\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)^{
\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}} \nn
&=&\frac{2}{3H_0}\ln\left[\left(
\frac{\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)^{
\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}}
\left(1+\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}\right)^{
\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}}
\right]
\eea

$\lambda_0\approx 1$のとき,これは
\be
t_0\approx\frac{2}{3H_0}\ln\left(
\frac{2\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)
\ee

を与える。よい近似


$\lambda_0\rightarrow 1$に近づくと対数関数的に$t_0\rightarrow\infty$

\subsubsection{なぜ宇宙項を考えるか?}

 1,観測的な宇宙年齢の問題

   銀河や球状星団中の星の年齢と$t_0$の比較

 2,dark matterの問題

   見えている限りで観測される物質の量からは(せいぜい)

     $\Omega_0\approx 0.2$

   (残りは知られていない物質?)

 3,銀河形成問題

     $\Omega_0\approx 0.1, \lambda\approx 0.9$でうまくいく?


 4,遠方の銀河の観測

    赤方偏移から求めた距離によって期待される明るさよりも

    暗い銀河が観測される

    膨脹は加速している?

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{赤方偏移と距離}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{red shift}

 時刻$t_1$にある場所から光を発し始める

 時刻$t_0$に\underline{ここ}で光を受けたとする

\bigskip

 光の経路  $ds^2=0$
\be
-ds^2=-dt^2+a^2(t)\left(d\chi^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
d\Omega^2\right)
\ee

 光の発したところと\underline{ここ}との座標($\chi$)距離は
\be
\chi=\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)}
\ee

\bigskip

 時刻$t_1+\delta t_1$に光をとめる

 時刻$t_0+\delta t_0$に最後に受けたとする

\be
\chi=\int_{t_1+\delta t_1}^{t_0+\delta t_0}\frac{dt}{a(t)}
\ee

\bigskip

 光を発した場所も受けた場所も座標の位置が変わらないとすると

\be
\int_{t_1+\delta t_1}^{t_0+\delta t_0}\frac{dt}{a(t)}=
\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)}
\ee

 これから
\be
\frac{\delta t_1}{a(t_1)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)}
\ee

\bigskip

 ここで

  $t_1$から$t_1+\delta t_1$の間に送り出した

  波頭の数は$t_0$から$t_0+\delta t_0$の間に受ける波の数と同じなので
\be
\underbrace{\nu_1}_{発した光の振動数}\delta t_1=
\underbrace{\nu_0}_{受けた光の振動数}\delta t_0
\ee

\bigskip

したがって波長の比は
\be
\frac{\lambda_0}{\lambda_1}=
\frac{\nu_1}{\nu_0}=
\frac{\delta t_0}{\delta t_1}=
\frac{a(t_0)}{a(t_1)}=
\frac{a_0}{a_1}
\ee

 膨張している宇宙では発した光の波長よりも

 観測した波長が長い

\bigskip

\noindent
\underline{定義}
\be
1+z=\frac{\lambda_0}{\lambda_1}
\ee

$z$: red shift (parameter)

\bigskip

\begin{quote}
見かけ上,Doppler効果のようなものと思うと

$z=\frac{v}{c}$に対応します(exercise)
\end{quote}

\subsection{dust宇宙でのred shiftと距離}

\subsubsection{座標距離}

$k=0$の場合
\be
a(t)=a_0\left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3}
\ee

ただし$\frac{3}{2}H_0t_0=1$

\bigskip

     座標距離
\bea
\chi_1&=&\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)} \nn
&=&\frac{1}{a_0}t_0\int_{t_1}^{t_0}\left(\frac{t}{t_0}
\right)^{-2/3}\frac{dt}{t_0} \nn
&=&\frac{t_0}{a_0}\left[3x^{1/3}\right]_{x=t_1/t_0}^{x=1} \nn
&=&\frac{3t_0}{a_0}\left[1-\left(
\frac{t_1}{t_0}\right)^{1/3}\right] \nn
&=&\frac{2}{H_0a_0}\left[1-\left(
\frac{a_1}{a_0}\right)^{1/2}\right] \nn
&=&\frac{2}{H_0a_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right)
\eea

これが座標距離と$z$の関係

注:現在の実際の距離は$a_0\chi_1$


\subsubsection{明るさ(光の強さ)を元にした距離}

 ユークリッド空間なら

    光源の強さが解かっていれば距離が解かる

\bigskip

        $L$:光源の強さ

        $\ell$:みかけの明るさ

\be
\ell=\frac{L}{4\pi d_L^2}
\ee

       $d_L$:距離 (luminosity distance)

\bigskip

   宇宙膨張があるとき,

 例えば
\be
L_1\propto\frac{h\nu_1}{\delta t_1}
\ee

\be
\frac{a_0}{a_1}=1+z
\ee

なので,

\bigskip

 われわれが期待する

     光源の強さ,
\be
L_0=\frac{1}{(1+z)^2}L_1
\ee

 なんとなれば

  1個の光子のエネルギー      $\frac{1}{1+z}$倍

  発する/受けとる時間間隔     $\frac{1}{1+z}$倍

\bigskip

さらに空間は一般に平らでないので,
\be
\ell=\frac{L}{4\pi a_0^2\rho^2(\chi_1)(1+z)^2}
\ee

ここで
\be
\rho(\chi)=\left\{
\begin{array}{c}
\sin\chi \\
\chi \\
\sinh\chi
\end{array}\right.
\ee

\bigskip

ゆえに
\be
d_L=a_0\rho(\chi_1)(1+z)
\ee

\begin{quote}
例 $k=0$

\be
\chi_1=\frac{2}{H_0a_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right)
\ee

  だから
\be
d_L=\frac{2}{H_0}\left(1+z-\sqrt{1+z}\right)
\ee
\end{quote}


 一般に
\be
d_L=\frac{1}{H_0q_0^2}\left[q_0z+
(q_0-1)(\sqrt{1+2q_0z}-1)\right]
\ee

\bigskip

$z<<1$のとき
\be
d_L=\frac{z}{H_0}\left[1+\frac{1}{2}(1-q_0)z+\cdots\right]
\ee

\bigskip

 後退速度(Doppler効果)
\be
v=z=H_0d_L\left[1+\frac{1}{2}(q_0-1)H_0d_L+\cdots\right]
\ee


  Hubbleの法則と,それからのずれ

\bigskip

\be
50{\rm km/s/Mpc}>mc^2$のときは
  その粒子は質量ゼロのものとみなせる

  $\rightarrow$radiationに寄与する

\bigskip

Einstein方程式を解く($T>>T_{eq}$)

\be
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=
\frac{8\pi G}{3}\rho_{rad}
\ee

\be
\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{\dot{T}}{T}
\ee

\be
\rho_{rad}=\frac{1}{2}g_{*}a_s T^4
\ee

 $g_{*}$:``massless''の自由度の数

     ($T>>m$)

 例   光子のみ $g_{*}=2$

\bigskip

\be
\left(\frac{\dot{T}}{T}\right)^2=
\frac{4\pi G}{3}g_{*}a_s T^4
\ee


 解は
\be
T(t)=\left(\frac{3c^2}{16\pi G g_{*}a_s}\right)^{1/4}
\frac{1}{\sqrt{t}}
\ee

\be
\frac{T}{1{\rm K}}=
\frac{1.8\times 10^{10}}{g_{*}^{1/4}}
\left(\frac{1{\rm sec}}{t}\right)^{1/2}
\ee

\be
\frac{T}{1{\rm MeV}}\approx
\frac{1}{g_{*}^{1/4}}
\left(\frac{1{\rm sec}}{t}\right)^{1/2}
\ee

$T=T_{rec}=4000{\rm K}$の時刻

 $t_{rec}=10^{13}-10^{14}{\rm sec}\approx 10^6-10^7年$

    ($1年\approx 3\times 10^7 {\rm sec}$)

\subsection{ニュートリノの温度}

$T\approx 1{\rm MeV}$あたりを考えます

  $m_e\approx 0.5 {\rm MeV}$

  電子 → 非相対論的

光子のエネルギーが低いので,電子陽電子対生成
\be
\gamma+\gamma\rightarrow e^-+e^+
\ee
が起きなくなる。(逆(対消滅)は起きる。)

ほぼ同じ頃弱い相互作用が効かなくなる。

ニュートリノは弱い相互作用しかしないので,
ニュートリノはエネルギーのやりとりをしなくなる。

電子陽電子対消滅によって,光子がふえる。

光子とニュートリノの「温度」に差ができる

\subsubsection{弱い相互作用の離脱}

 ・$T\approx 1{\rm MeV}$で弱い相互作用が効かなくなる

弱い相互作用

\be
\nu_e+\bar{\nu}_e\leftrightarrow e^-+e^+
\ee

\be
\nu_e+e^-\leftrightarrow \nu_e+e^-
\ee



 弱い相互作用の反応率


\be
反応率=n\langle\sigma v\rangle
\ee


 $n$:数密度

 $\sigma$:断面積

 $v$:速度 $v\approx c=1$


\be
n\propto T^3
\ee

\be
\sigma\approx G_F^2T^2
\ee
ここで$G_F$はFermi結合定数 $G_F\approx 10^{-5} ({\rm GeV})^{-2}$

次元解析からわかる。(エネルギーのスケールは温度しかない。)

ちなみに,$G_F$は$g^2/M_W^2$のオーダー。

\bigskip

  反応率$<$膨張率(〜宇宙年齢)

 のとき反応は効かなくなるといってよい

 宇宙の膨張率$=\frac{\dot{a}}{a}=H$

\be
H\approx\sqrt{G}T^2=\frac{T^2}{M_p}
\ee

\be
M_p\equiv\sqrt{G}\approx 10^{19}{\rm GeV}
\ee


 弱い相互作用が効かなくなるのは

\be
n\langle\sigma v\rangle < H
\ee

\be
G_F^2T^5<\frac{T^2}{M_p}
\ee

\be
T^3<\frac{1}{G_F^2M_p}
\ee

\be
T_{dec}\equiv\left(\frac{1}{G_F^2M_p}\right)^{1/3}
\ee
とすると$T1{\rm MeV}$

\be
s\propto\left(2+\frac{7}{8}\times 2\times 2\right)T_{\gamma 前}^3
\ee

(光子,電子陽電子(スピン自由度,粒子反粒子))

\bigskip

$T<1{\rm MeV}$

\be
s\propto\left(2\right)T_{\gamma 後}^3
\ee

\bigskip

\be
T_{\gamma 前}=T_{\nu}
\ee

\bigskip

\be
\frac{T_{\gamma 後}}{T_{\gamma 前}}=\frac{T_{\gamma 後}}{T_{\nu}}=
\left(\frac{11}{4}\right)^{1/3}\sim 1.4
\ee

 したがって現在の光子の温度$T_{\gamma 0}=2.7 {\rm K}$とすると

$T_{\nu}=2.0 {\rm K}$くらいである


\subsection{元素合成}

$0.1{\rm MeV}\sim $1分

\bigskip

$T>1{\rm MeV}$では
\bea
n+\nu_e&\leftrightarrow&p+e^+ \\
n+e^+&\leftrightarrow&p+\bar{\nu}_e \\
n&\leftrightarrow&p+e^-+\bar{\nu}_e \\
\nu_e+\bar{\nu}_e&\leftrightarrow&e^-+e^+ \\
\nu_e+e^-&\leftrightarrow&\nu_e+e^-
\eea
など,


 多くのものは熱平衡にある。

\bigskip

$p$,$n$のエネルギー密度は
\be
\rho c^2=m_Nc^2
\underbrace{\frac{2}{\pi^3}\left(\frac{m_NkT}{2\pi}\right)^{3/2}
e^{-\frac{m_Nc^2}{kT}}}_{n_N}
\ee

$n_N$:数密度

\be
\frac{n_n}{n_p}\approx e^{-\frac{(m_n-m_p)c^2}{kT}}
\ee

\be
m_n-m_p\approx 1.3 {\rm MeV}
\ee

$T\sim 1{\rm MeV}$くらいで熱平衡でなくなる。

 あとは
\be
n\rightarrow p+e^-+\bar{\nu}_e \\
\ee

  で$n_n$は減少する。

 (寿命:$887\pm 2 {\rm sec}$)

 (厳密な計算では重要)


\bigskip

${}^4He$合成のみちすじ
\bea
p+n&\leftrightarrow&{}^2H+\gamma \\
{}^2H+n&\rightarrow&{}^3H+\gamma \\
{}^2H+p&\rightarrow&{}^3He+\gamma \\
{}^3H+p&\rightarrow&{}^4He+\gamma \\
{}^3He+n&\rightarrow&{}^4He+\gamma
\eea


 しかし
\be
{}^2H のbinding~energy \sim 2.2 {\rm MeV}
\ee

   つまり低い温度でも${}^2H$は壊れやすい。


 光子によって${}^2H$が壊されなくなるためには
\be
T





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