%Kiyoshi Shiraishi:relativity 相対論 %
04/09/2000
%

相対論


%

全然未完成です。当分完成しそうもない。


%LaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi 1997-1999
\documentstyle[12pt,graphics]{jarticle}
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\nn}{\nonumber \\}

\newcommand{\vnabla}{{\bf \nabla}}
\newcommand{\vsigma}{\vec{\sigma}}
%\newcommand{\vsigma}{{\bf \sigma}}
\newcommand{\vA}{{\bf A}} %vector potential
\newcommand{\va}{{\bf a}} 
\newcommand{\vB}{{\bf B}} %磁場
\newcommand{\vD}{{\bf D}}
\newcommand{\vd}{{\bf d}}
\newcommand{\vE}{{\bf E}} %電場
\newcommand{\vF}{{\bf F}}
\newcommand{\vg}{{\bf g}}
\newcommand{\vH}{{\bf H}}
\newcommand{\vI}{{\bf I}}
\newcommand{\vi}{{\bf i}}
\newcommand{\vJ}{{\bf J}}
\newcommand{\vj}{{\bf j}}
\newcommand{\vk}{{\bf k}}
\newcommand{\vM}{{\bf M}}
\newcommand{\vn}{{\bf n}}
\newcommand{\vP}{{\bf P}}
\newcommand{\vp}{{\bf p}}
\newcommand{\vR}{{\bf R}}
\newcommand{\vr}{{\bf r}}
\newcommand{\vS}{{\bf S}}
\newcommand{\vs}{{\bf s}}
\newcommand{\vv}{{\bf v}}
\newcommand{\vx}{{\bf x}}
\newcommand{\vy}{{\bf y}}
\newcommand{\vz}{{\bf z}}
\newcommand{\vzero}{{\bf 0}}
\newcommand{\tr}{{\rm tr}}
\newcommand{\Tr}{{\rm Tr}}
\newcommand{\bx}{{x\!\!\!\mbox{-~}}}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 1.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{相対論}
\author{
白石 清(山口大学理学部)
}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
 一般相対性理論は,天体物理学や素粒子論の最前線において不可欠である.
本講義では特殊および一般相対論の基礎
について,数学的な準備を整えつつ,理解していきたい. 

\begin{itemize}
\item 1.3分でわかる特殊相対論(お子さまにも勧めてあげて下さい) 

\item 2.時空の座標とその変換:ローレンツ変換における不変量,速度の合成 

\item 3.特殊相対論的力学:相対論的エネルギーと運動量,荷電粒子の運動 

\item 4.特殊から一般へ:一般座標変換と不変量 

\item 5.測地線の方程式:近道を行こう! 

\item 6.数学(算数?)から物理へ:君は重力をみたか? 

\item 7.ニュートンからアインシュタインへ:重力場の満たす方程式 

\item 8.アインシュタイン方程式の厳密解:ブラックホール 

\item 9.その他の話題(宇宙論への応用など) 
\end{itemize}

\end{abstract}

\newpage
\tableofcontents


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{相対性理論とは?}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

相対性理論には,特殊相対性理論と一般相対性理論という
2つの範疇がある。

      特殊  線型変換  
  相対論                 座標(時空の座標)

       一般  一般の変換
   ↓    →重力の理論
  そういった変換のもとでの不変な法則をつくる枠組み


  今日は「特殊相対論」をいかに簡単に説明するか?

    主役:光   ・光速度不変の原理

            だれ(慣性系の上の人たち)が測っても同じ

            Aがひとつの慣性系であるとする

            それに対して等速で動いている系Bも別の慣性系


 ・物理法則はすべての慣性系の上で同じ

    運動は異なるようにみえるかもしれない

               BからAを見た図

                         初期条件などは異なってみえる

                         運動は異なってみえるが法則は同じ



   よくあるように, 光で動く時計をつくる


  固定         鏡






  A
                         運動する時計は遅れてみえる





  ロケットを考える
                         ただ鏡は折り返すだけなので

  通り過ぎる       R
  AからBまで      ロケット



  A    6光年    B
   AとB動いていない←仲間

  A,B:ロケットの旅行時間=10年
   R:ロケットの旅行時間=8年

  A,Bの測った距離  =6光年
  Rさんにとっての距離は=0.6×8年=4.8光年(運動するものさしの縮み)




   時間と空間の座標
  
  物体をすべて点で考えると
  物体の軌跡は
    時空座標の図の上で
  直線となる(等速運動)





    一次変換で
    移り変わる

  先週の復習

                      ロケットがA→B旅行するのに10年
                      ロケットの中の時計A→B旅行間に
                                    8年刻む
                      ロケットの中の人Rが
                      A(B)に固定された時計をみると



                        ロケットの人にとっての距離
                             0.6×8年=4.8光年


  時間と空間の座標
  A                      R


                 関係は



                ここの長さはいくらになる?
                8× =4.8            辺の長さのは
                    →Rから見たABの距離



  「同時」ということは観測者によって異なる。
  ある観測者にとっての距離はその人の「同時刻」で測る



 座標変換
     例 回転


  時空座標の変換で先の例に対応するものは何か?



          軸は  の表す直線



 時空の座標変換


    の直線   軸


       ローレンツ変換          ガリレオ変換


 時計のおくれ
               時計の空間座標


 ものさしの収縮
                  系の時刻  ではかる

    :ものさしの固有の長さ
    : 系の人が測ったものさしの長さ

                         動いているものさしは縮んでみえる

 座標変換における不変性
    例 回転

                    ローレンツ変換で不変な量



  不変量の意味は?
   原点から光を発するとき,その先端の座標は
                       を満たす

   他の系でみると
               →光速が不変に対応

  ロケットの例では


  よくありがちな,特殊相対論の考え方のよくわかる例


   電車の前の壁と後ろの壁,どちらに光が届くのが速いか。

  時空の図
    A

                Aの立場では後ろの壁に先に光が届く。

    B

                Bの立場では前と後ろの壁に同時に光が届く。


  同時刻の相対性

        平行の証明


  変換で不変な量


    ロケットの例
  @ ロケットがAを通過
  A ロケットがBを通過

  Aの座標
  @の座標


          正
        は    の値をもつ
          負
              におく。






                    原点(  )に対して(  )は
                    ”未来”        である
                    ”過去”  (時間的位置にある)
                                である
                           (光的位置にある)
                                である
                          (空間的位置にある)



                  光が届く     適当に座標を変えると
                          2点の空間座標を一致させる
                          ことができる。
                      
                          2点間に因果関係があってもよい

   光速より速いものなはい  適当な座標変換すると
                2点の時間座標を
                一致させることができる

                2点間に因果関係がない


                    座標変換(ローレンツ変換)で
                    時間の”向き”は変わらないので
                       を”未来”,     を”過去”
                    と呼ぶ。

  光より速いものはないのか?






\subsection{速度の合成}

\begin{itemize}
\item Aでは$(ct,x)$

\item Bでは$(ct',x')$

\item Cでは$(ct'',x'')$
\end{itemize}

  AとBとの関係は
\be
\left(
\begin{array}{c}
ct' \\
x'
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\beta_1 & -\sinh\beta_1\\
-\sinh\beta_1 & \cosh\beta_1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
ct \\
x
\end{array}
\right),~~~~~\tanh\beta_1=\frac{v_1}{c}
\ee

  BとCとの関係は
\be
\left(
\begin{array}{c}
ct'' \\
x''
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\beta_2 & -\sinh\beta_2\\
-\sinh\beta_2 & \cosh\beta_2
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
ct' \\
x'
\end{array}
\right)~~~~~\tanh\beta_2=\frac{v_2}{c}
\ee

したがって
\bea
\left(
\begin{array}{c}
ct'' \\
x''
\end{array}
\right)&=&
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\beta_2 & -\sinh\beta_2\\
-\sinh\beta_2 & \cosh\beta_2
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\beta_1 & -\sinh\beta_1\\
-\sinh\beta_1 & \cosh\beta_1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
ct \\
x
\end{array}
\right) \nn
&=&
\left(
\begin{array}{cc}
\cosh\beta & -\sinh\beta \\
-\sinh\beta & \cosh\beta
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
ct \\
x
\end{array}
\right)~~~~~\tanh\beta=\frac{V}{c}
\eea

$V$:AがみたCの速度



   AとBの相対速度
   BとCの相対速度
  のとき
   AとCの相対速度


  注)                Cとする
        のときは






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{特殊相対論的力学}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   ニュートン力学
\be
m\frac{d^2\vx}{dt^2}=\vF
\ee

    Lorentz変換で不変ではない

  考え方) $\vF=\vzero$の場合に注目

    ニュートン力学


    運動量保存       運動量


  相対論的力学でも

     保存する運動量が定義できると思える


      を求める

                 :衝突前

                 :衝突後


                 :衝突前

                 :衝突後


   運動量の保存:
    質量の保存:




       :運動量
       :「質量」

  「質量」は何だ?
        のとき

        のとき


                ニュートン力学の運動エネルギー

    運動量
    「質量」
           (   方向のみ)

    運動量

    「質量」

    速度に依存する「質量」とは何か
         のときには


     これ全体は保存するもの
  展開の第一項
      →(普通の意味の)質量
  展開の第二項
      →(ニュートン力学の運動エネルギー)

        :エネルギー(の次元をもつ)

    質量:(定義)              (静止質量)
                         (固有質量)

                      と書く

   質量 の粒子が
    速度 で運動しているとき      ←ある観測者にとって
                       この人が力学の式を書こうとしている
    運動量

   エネルギー

  不変量  ←どういう観測者がみても



    と  の   変換性
          簡単のため は のみ


    系では
    系では
       とする

    系で静止している質量 の質点

    系では


   なので


   この変換 から明らかに



 電磁場内の荷電粒子の運動方程式

   ラグラジアンから始める
  まず,自由粒子について,
  非相対論的な場合は
 
                    は粒子の空間座標
  これを相対論的に拡張する


  この新しい から作用積分は

  これは次のように考えれば   変換に不変なことが解る


         不変量(時間内での距離)


  これの変分から,運動方程式をつくると,

  これは

  なので,前に求めた の解釈とうまくいっている。


 電磁場内


   は相対論的に不変か?


                    と変換するならばOK

   運動方程式




      一般のローレンツ力


  質量 ,電荷 の荷電粒子の電磁場内での運動方程式


  一般の”力”の場合

   力のベクトル(3次元)
      →(   )次元ベクトル(?)


  時空の座標
   位置ベクトル
                    四元ベクトル
    時刻

    ローレンツ変換

    変換に対する不変量






  (同じ項で)同じ添え字がでてきたら和をとる。




   不変量



  一般に四元ベクトル

  の変換を次のように書く




  電磁場の表現



  次の量をつくる


 四元速度(ベクトル)


  これらを使って次の量をつくる


    ↑
   不変な座標間隔

   ↑:固有時


     メ 拡張

   これの    成分は?


                      =仕事率
                       ↑電場が粒子に対してする

  電磁場のある場合の荷電粒子の運動方程式



    成分は何か


                電場から受ける力による
                粒子のエネルギーの増加率(単位時間あたり)

  一般に粒子の運動方程式は


   は四元ベクトル
  (座標のベクトルと同様の変換をうける)

  一般に 成分は
     で
  ニュートン力学に一致するようにする

  電磁気 ー そのまま
        相対論的な式が書ける


  これを使うと運動方程式は

  ところで


  そうすると

  すなわち



  運動方程式   成分は


  「力」が粒子にする仕事率

                :ニュートン力学の場合

 注:電磁場の場合


   右辺は

   なので
   恒等的にゼロ



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{一般相対論}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


  §
    特殊相対論を拡張

  拡張
   ・ローレンツ変換をより一般の座標変換として考える →(物理?)
   ・”不変量” ← 一般の座標変換

  出発点
   座標間隔からつくられる不変量


            は  の対称行列のようなもの



  われわれはすでに     例を知っている

   平面上の極座標表示を考える




                  ↑座標の関数
                  ←  座標の関数である

   ちなみに空間の極座標表示では


             ↑
           ”一般の変換”
              の特殊な例



             ↑座標の関数



  一般の座標間隔の変換


  平面上での(スカラー)関数


   これと

            の関係




  一般の座標変換
      ↓
     時空の座標

  例:平面上(2次元)
                 直交座標
                 極座標         変換
                             関係


   :     (座標の関数)



  定義
                 こういう変換する  を
                  反変ベクトルと定義

                 こういう変換する  を
                  共変ベクトルと定義


        このように変換するものをテンソルと呼ぶ

  特に添え字を『階数』であらわす
     は1階の反変テンソルである
     は1階の共変テンソルである       (普通あまりいわないが。)

  例:
                       は2階の共変テンソル


    は何物か?


       :平面の例でこれを示せ
          は2階の共変テンソルである。

   一般の座標では は座標の関数
          メ
         不変量←短い(距離)
          メ
       ”直線”をきめる測地線

  2点を固定したときそれを結ぶ「距離」(みちのり)
  が一番短くなるもの
     
    測地線←平面の例では直線



  と書くと

   から の「みちのり」は

   ここで   が経路の形を表す。


   → 測地線 ならば


  ただし は
          と変分されることを表す。

  変分原理 →       方程式

   ここで




  ここで  の逆(行列)を考える。すなわち

  これを次のように書く


                    ←測地線の満たすべき微分方程式
                     これを解くと本当に直線になっているか?



 平面上
  直交座標

                 は定ベクトル


  極座標
    すべての   ではない


    ← テンソルではない!!

 測地線の式

  変分により方程式を求める


  ここで

    (      と書くことにする)

  例1:  が”定数”

              全ての

                        (   は定ベクトル)
                         直線


  例2:平面上の極座標

          他は


   測地線の式は


   解いてみると



   ここで今
                  より


   同様に



 補足
   測地線の式

   今,平面上の極座標を考えているので


                  で他は


         しかないので


    同様に


         しかないので


   したがって測地線の式は



   より
         角運動量保存



   に入れると

   一回積分すると

   この両辺を  で割る





       とおくと






  直線!!





 わきみち
           の簡単な求め方
   それには の変分を考える代わりに
        の変分



    以下省略。

  今の場合

  

    測地線の別の「イメージ」

             束縛力



  高い次元(平坦な)の空間の中に曲がった「曲面」を考える。
  「曲面」の上を「曲面」の内部から力を受けない粒子の運動は
  どう表されるか?

   高い次元でものをみると,
         運動方程式は

   束縛力は「曲面」に垂直方向に働いているので
   全ての  について


   「曲面」の上の視点でみると



   なので


  
         測地線


 微分
      テンソルの微分

   例: ベクトル を座標で微分する

     :これはテンソルか?
     (座標変換に対してどう変わるか?)



  テンソルのように変換する(普通の)微分に対応する物をつくりたい

  (なぜか? 法則が座標変換で変わらないようにしたいので)

  どうするか。  今までの知識から考えよう。

  測地線の式



   この類を「共変微分」という


  測地線

   一般に定義する
    (反変ベクトル)の共変微分


      はテンソルである

   ↑
     座標系

  意味


   高次元の立場では青いベクトルは


                       微分した物は曲面から
                       はみ出した物があるかもしれない

   これの曲面への射影は


   曲面上で微分に対応した意味のある量は   である。

  意味:簡単な例
                     定ベクトル(場)
  
                     直交座標系では


   共変微分を極座標でみてみる。



   そうすると共変微分は以下のようになる


  両方の座標系で

  座標によらないベクトル(場)の性質を表す

  スカラー(場)の共変微分

  共変ベクトルの共変微分

       はスカラー


  これがテンソルなのでテンソルとなるような組み合わせは


  計量  の共変微分



                極座標で   できる。


 ・曲がった空間
   例:球面

   半径1




  共変微分

   やりたいこと
    曲がった空間



       座標系によらないこと(物理の方程式)

   次のものを考える

   空間が”平ら”な場合はこれは




  ここで       はテンソル
      なので

            はテンソル

  例:すべての

                    空間は”平ら”

       は空間の曲がり具合を示す量
       を    (曲率)テンソルと呼ぶ



 ここから物理

  重力
  時空の座標系に依存する

   重力 ← 時空間の湾曲

   重力場内での試験粒子の運動 ← 曲がった時空間内の測地線の式

   測地線の式

   時空の座標を次のようにしてみる


   運動の速度の大きさは  よりずっと小さいと仮定する。

    測地線の式は次のように近似できる


    ここで


     は  に比べて小さいとした。

   結局 運動方程式


      を重力のポテンシャルと見なせば
    測地線の式 → 重力場内での運動方程式

%%%%%%%%%%%%%temp


  点源の場合
\be
\Phi=-\frac{GM}{r}
\ee


  $G$:Newton定数  運動は試験粒子の質量によらない。

  $M$:源の質量

  $r$:源からの距離

\bigskip

◎重力場はどのように決められるか?

    Newton重力では

    方程式
\be
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho
\ee
            $\rho$は質量密度。

   近似すればこの方程式がでるような

     \underline{テンソルで書けた式}が欲しい

       ↑

      時空間の曲がり具合

   方程式は次のような形

      左辺           右辺

  (曲率テンソルを含む)=(エネルギー密度を含む)

\bigskip

Einstein方程式
\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee

\bea
R_{\mu\nu}&\equiv&R^{\tau}{}_{\mu\tau\nu} \\
R&\equiv&g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}
\eea


  $T_{\mu\nu}$:エネルギー・運動量テンソル

  一様等方な物質分布のときは

\be
T^{\mu}_{\nu}=\left(\begin{array}{cccc}
-\rho c^2 & & & \\
 & p & & \\
 & & p & \\
 & & & p
\end{array}\right)
\ee

                $\rho$:エネルギー密度

                $p$:圧力

\bigskip

計量が
\be
ds^2=-\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right)dt^2+d\vx^2
\ee
             の場合
\bea
\Gamma_{00}^i&=&\frac{1}{c^2}\partial_i\Phi \\
R_{00}&\approx&\frac{1}{c^2}\nabla^2\Phi
\eea
    ここで$\Gamma\Gamma$は小さいとした

\bigskip

\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee
より
\be
g^{\mu\nu}\left(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right)=
\frac{8\pi G}{c^4}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}
\ee
$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$なので
\be
R-\frac{1}{2}4R=-R=
\frac{8\pi G}{c^4}T
\ee

\be
R_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)
\ee

\bigskip

\bea
T_{00}&\approx&\rho c^2 \\
T&\approx&-\rho c^2
\eea

\be
T_{00}-\frac{1}{2}g_{00}T\approx\frac{1}{2}\rho c^2
\ee


   ゆえに近似した式は
\be
\frac{1}{c^2}\nabla^2\Phi=\frac{8\pi G}{c^4}\frac{1}{2}\rho c^2
\ee


\bigskip

\bigskip

 ・重力場の方程式 =Einstein方程式
\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee
  (この解として$g_{\mu\nu}(x)$)


 ・重力場内での運動 = 測地線の式

\newpage

   厳密な解の例: 静的球対称真空解 $(c=1)$
\be
ds^2=-e^{\nu(r)}dt^2+
e^{\lambda(r)}dr^2+r^2
\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee

\bea
R_{00}&=&e^{\nu-\lambda}\left[\frac{\nu''}{2}+\frac{{\nu'}^2}{4}-
\frac{\nu'\lambda'}{4}+\frac{\nu'}{r}\right] \\
R_{11}&=&-\frac{\nu''}{2}-\frac{{\nu'}^2}{4}+
\frac{\nu'\lambda'}{4}+\frac{\lambda'}{r} \\
R_{22}&=&1-e^{-\lambda}\left[1+\frac{r}{2}
\left(\nu'-\lambda'\right)\right]
\eea


   解は例えば
\be
e^{\nu}=1-\frac{2GM}{r}=e^{-\lambda}
\ee

\be
ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2+
\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2
\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee


   Schwarzschild解

  Black holeと思えば$r=r_H=\frac{2GM}{c^2}$のところで計量がおかしくなる

       $r_H=\frac{2GM}{c^2}$:地平面  の距離



\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{佐藤勝彦} 佐藤勝彦 相対性理論 岩波書店

\bibitem{佐々木節} 佐々木節 一般相対論 産業図書

\bibitem{小玉英雄} 小玉英雄 相対性理論 培風館

\bibitem{佐藤文隆} 佐藤文隆 相対論と宇宙論 サイエンス社

\bibitem{戸田盛和} 戸田盛和 相対性理論30講 朝倉書店

\end{thebibliography}

\end{document} 

戻る