%Kiyoshi Shiraishi:soryuushiron %
01/02/2000
%

素粒子論


%

全然未完成


%LaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi 1997-1999
\documentstyle[12pt,graphics]{jarticle}
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\newcommand{\bx}{{x\!\!\!\mbox{-~}}}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 1.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{素粒子論}
\author{
白石 清(山口大学理学部)
}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
素粒子論講義ノートです。
全然完成のみとおしただず?
\end{abstract}

\newpage
\tableofcontents


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{イントロダクション}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

      素粒子論の概要
       ・物質の究極像   と
       ・それらを支配する物理法則      素粒子間の相互作用
                                力
         全体の統一描像

                                 種類
       ・物質       粒子そのもの      場  Fermion    Dirac方程式
                           とかんけい
       ・相互作用(力)  粒子が媒介となって   場  Boson    量子力学
                   やりとりする  とかんけい
                 光子         電磁場      Maxwell方程式

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{復習}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

      ・物質は何からできているか?
          [大きさ]
                  分子     化学的性質を指定
                  原子

                  原子核   と 電子

                          陽子   proton
                  核子 nuclean  中性子    neutron

          大きさなし?  クォーク quark

                サブクォーク subquark

         その他
           普通の物質の中にない粒子も存在する
                ・宇宙線
                ・高エネルギー実験(加速器)

           エネルギー    物質粒子
                から      ができる


    これは,特殊相対論で
            質量        エネルギー



                              という事実からくる。

 そういうわけで
    (粒子の)質量をエネルギーの単位ではかる。


       電子1個分の電荷が1 の
       電位差によって得られるエネルギー






 ここで
    単位の接頭辞







    陽子の質量


      陽子の質量は約1  である


      ここで  を省略することは,
           とした単位系をとることと同じ
      さらに
           となるような単位系をとることができる


        自然単位系
        natural unit


    自然単位系




           とすると,
          エネルギーと質量が同じ単位で書ける

       ”長さ”はどのように書けるか?

       ・Bohr 半径


       ・Compton 波長


       ・古典電子半径


       今,

                       無次元量


          とすれば,

                       無次元量


       ・Bohr 半径


       ・Compton 波長


       ・古典電子半径


         ”長さ”は質量の逆数の単位で測れる。


     余談

       この他にもうひとつ次元をもった量を単位とすることができる。


           ニュートン定数
                      とすると
           プランク質量






 §2 素粒子の分類                   cf)陽子,中性子,ニュークリオンetc.

                          バリオン baryon    フェルミ粒子
    ハドロン hadron   強い相互作用をする         (重い)
         (強い)             メソン  meson     ボーズ粒子
                               (中間)
                            cf)π中間子(パイオン pion)etc.

    レプトン lepton   強い相互作用をしない
         (弱い)

     ・電子
     ・電子ニュートリノ
             etc.

   余談
    ☆核力    π中間子が媒介




      π中間子             の3種類
      π中間子の質量

      核力の到達距離


   ・baryon         quark      3つから成る

   ・meson          quarkと反quarkから成る


   ・quark の   種類        電荷     質量
         u   up
             d   down
             c   charm
  6種類   s   strange
             t   top
             b   botom


    ☆陽子は uud   電荷

     中性子はudd      電荷


     π中間子は


  ・leptonの  種類        電荷     質量
         electron neutrino
              e   electron
                  ミューニュートリノ
                  mu:on
                  タウニュートリノ
                  tau:on


 その他の粒子
                      電荷       質量
            photon 光子
           電磁気力を媒介

          gluon グルーオン
            強い力を媒介

      weak boson ウィークボソン
            弱い力を媒介

          graviton 重力子
             重力を媒介



 §3 相互作用
      4つある
        ・強い相互作用
          quark間の力(反クォークとクォークの間の力も含む)
                  グルーオン


             核力
                中性子      陽子
           時間    udd              uud

                                    核力は強い相互作用の
                                    2次的効果

                 uud              udd       電気力とファンデルワールスカ
                中性子      陽子   の関係


         ・電磁相互作用
           電荷を持った粒子の間の力
             電磁場     光子
                 量子化

         ・弱い相互作用
           quark,lepton間の力

           β崩壊
                     陽子
                     uud          電子

                           W:Weak Boson
                                          udd
                                         中性子

                           強い相互作用の到達距離

よくわかっている

         ・重力(相互作用)   量子化?できる?

よくわかっていない

本題
 §4 量子力学
      Schr dinger方程式     これは非相対論的


     相対論的な波動関数の方程式を”知りたい”

     まず,古典論での相対論的粒子を考える
     action(作用積分)は


     ここで



                     は粒子の座標
                  :パラメーター

     (一般化)運動量




     (一般化)ハミルトニアン


                 のとりかたによらない

     これは使えないので,別の関係を当たってみる






            の全てが独立なわけではない。



                      量子化する。

                                    ☆


                       波動関数


     具体的には

                          のような演算子を用いる

     波動関数  が
                               定ベクトル
                               定数

     の形をしているとすると☆は


     となる。これは単に相対論的な粒子のエネルギーと
     運動量の関係を述べているだけ。

     ここで,
     ひとつの疑問


          負のエネルギー状態の存在(どう扱うか?)
     これはおいておいて,
     next        確率解釈できるか?

         Schr dinger方程式の場合(簡単のため一次元)

                                     @

     この場合,確率密度


     また,確率流れ密度


     これらより@式は

                          (保存の式)


                  ただし, の境界で流れの出入りなし,とする。

     確率解釈ができるか?

                                     A

     保存の式をつくると,




     としたとき,Aは,


     2つめの疑問

             は確率密度?
             は負にもなりうる(どう扱うか?)

     以上まとめ?
        ・正のエネルギー状態の
                       波動関数
        ・確率解釈のできる

                      その方程式 が”知りたい”


       出発点
            負にならない をつくるためには
            方程式は の一階微分を含む式
            でなければならない。


       あらかじめ

                                  を仮定

       このとき

                             (以下       とする)


          の一次の方程式になるということは


       という形の式をもってくればよい



       の形を仮定する
       これが,結局は


       をみたすためには






                                   前述の関係で用いると



         α,βは  2つの”数”ではない!!





                         を仮定すると


                         という形になるにちがいない


       これが を満たすためには





                    単位行列


       α,βは普通の数ではありえない

       α,βは行列で表現される



      もし,    次元 時空ならば
      我々は  の関係をみたすものを知っている





         次元で  をみたすものは   行列で表される
      例として








      (別の書き方)




                           単位行列


 Dirac方程式


                         形式的おきかえ


      波動関数は    行列





                         を考える




                        Dirac  eguation

             (共変性)
  ・Dirac方程式の相対論的不変性
    の形は一見しては相対論的であるように見えない。
   (      が統一的に扱われているか?)

   ここで新しい行列を定義する


                           (注:本によって定義の仕方が違う)





    の式は次のように書ける











     を使うと は次のように書き換えられる





     はまず一見相対論的にみえる    実際に変換してみる

    Lorents変換(のもとで  が不変かどうかcheck!)
         時空の座標の線型変換



              行列

    相対論的不変量


       ただし,





    これをみたすためには( を に代入して左と右とを比較する)





    更に物理的要請







    無限小変換を考える


                小さい

    前の条件 より


    (復習) 座標回転
         (空間2次元部分)




          ここで

          そして,この変換を 回積み重ねる。
          そして,   とする。




          ここで

                          を使うと


          更に



          を考慮すると




      ☆ 無限小変換   有限のパラメータによる変換 ☆

      exersize    Lorentz Boust  (時間と空間1次元部分)

          無限小変換


                            のみを考える


                             前に出てきたβとは違う


            ( の上げ下げに注意)

         これから有限の Lorentz Boust の変換行列をつくれ。


          こたえ



    本題に戻る

                           とおいてみる




                           とみたす(不変)




       となる   をみつける。
        として無限小変換の形を考えれば十分。


                              のとき




       ここで





    exersize    これを確かめよ
                           を使う




   (復習)
     Dirac 方程式
        (広い意味)の波動方程式
          ・相対論的
          ・時間微分について一階





        相対論的不変性


                Lorentz 変換の行列


                 の逆行列



        無限小 Lorentz 変換


        に対しては


        ととる。



     ・有限の変換の具体例

                        (    平面の回転)



                            自分で計算しよう!

                            他の成分はゼロ!


        よって,





        注:


             より問題にならない
               We use


     ・Lorentz 変換
                         質量



                     (Lorentz 変換)


                           を目標とする

           不変    質量は変換しないと思っている



                              とする


         より,



         更に左から  をかける





         ここで

                      ( checkせよ!)


         なので


         となり,もとの方程式と一致する。


   ・Dirac 方程式の解


              等価


                        (Dirac 方程式)

     ウ)静止している粒子の場合
                           粒子
                                  より

                           波

       ゆえに


       これの解は4つある





       これらの解を次のように書き直す


                                    スピンの自由度
                                    によって2つに分類





       最初の仮定


       という形にあてはまると,今

             については

       一方
                                 負のエネルギー?


          正 エネルギー
                  の解の分離はできている。
          負 エネルギー


      エ)一般の場合
                       の場合


        Dirac eg は


        ここで




                         を仮定する


        するとDirac方程式より










                               正 エネルギー解
                               負 エネルギー解

        正エネルギーの解
           このとき

                が         の2つの解


                             をもつとする


            より

                             なので


           独立した2つの解は







               規格化定数


       check!  これらは をみたすのか?


         負エネルギーの解
            このとき

                                 の2つめの解をもつとする


             より




                              なので
         独立した2つの解は




                                (check! をみたすか?)



           は   に   Lorentz 変換をすれば得られる。

                              (できる人は計算!)


       規格化定数について
         今, に対して  を定義する。




            は次の性質を持つ
            ローレンツ変換

            をしたとき





                                 ヒント 無限小変換で考える






         従って,


              ローレンツ変換でも不変!



                      scalar



           不変                 のとき




       規格化(    について)


                          書き換える



                          にしたものを と書く
                                      ただし

                                      ただし




       Let's 規格化!













 § 射影演算子
     定義


     性質





     定義



     性質







         は   の具体的な形を代入すれば具体的に求められる。(各自やること)

      ここでは,別の考え方で求める

      もともと (あるいは )は Dirac 方程式の解




             ただし


      ゆえに



      この式の解として









      比例係数は     から決定する。







      なので


      同様に


      これらの形をみると


      がすぐわかる。



        まとめ



                           解の安定性


                と   は射影演算子






 § 電磁場との結合と非相対論的近似   を考える
     電磁場との結合
          minimal coupling   とする

     minimal
         coupling とは              とする結合


                       電荷
                       スカラーポテンシャル
                       ベクトルポテンシャル



                         としたとき

   Dirac 方程式は




       に対する式を考えてみる。(適当な近似をとる)
       を消去したい。
                               と近似する。



          エネルギー  静止エネルギー     非相対論的近似

     従って より


                演算子        固有○




                         (     で     で完全反対称)



                          etc.
     を使うと










     ゆえに結合近似した の式は


      非相対論的エネルギー                 磁場と「粒子のスピン」
                                 の結合を表す項

                                  の2つの自由度
                                  spin up と down

                         ∴粒子は「磁気モーメント」をもっている


      復習

        Dirac 方程式
                            (自由粒子に対応)





                              エネルギー


        minimal coupling



                              粒子の電荷


        を行うとDirac 方程式は





          注) このときは   は一段に前の平面波解とは少し異なる。



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%\begin{thebibliography}{99}

%\bibitem{To} ???・


%\end{thebibliography}

\end{document} 

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