相対論テスト1997年度

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%\hfill {ver. 2.0}
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\title{
相対論テスト
}
\author{
白石　清（山口大学理学部）
}
\date{ver. 2.0}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
平成10年2月12日
\end{abstract}

\newpage

\begin{center}
{\bf 相対論テスト}
\end{center}

\paragraph{1.}
8光年離れた2つの星A,Bの間を，速度の大きさが光速の0.8倍の
ロケットがすすむ。AまたはBにいる観測者は，
ロケットがA,Bの間をすすむのに10年かかったと観測する。

\begin{enumerate}
\item ロケットの中の時計では，A,Bの間をすすむのに
どれだけかかったと計測されるか。
\item ロケットの中のひとは，A,Bの間の距離をいくらと
観測するか。
\end{enumerate}

\paragraph{2.}
半径1の球面上の測地線の式について考えよう。
一般に，球面上の曲線は，極座標の$\theta$および$\phi$が
パラメータ$t$の関数であるとして表される。

\begin{enumerate}
\item まず測地線の式を求めよう。そのためには，計量から，
次のような変分関数をつくる。
\[
L=\frac{1}{2}(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\phi}^2),
\]
ただし$\dot{~}$は$t$微分を表す。
$L$について，Euler-Lagrange方程式
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=
\frac{\partial L}{\partial\theta},~~~~~
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}=
\frac{\partial L}{\partial\phi}
\]
をつくればよい。これらを具体的に計算せよ。

\item $\phi(t)=\phi_0$（一定）が方程式の解であるとしたとき，
$\theta(t)$の一般解を求めよ。

\item $\theta(t)=\pi/2$（一定）が方程式の解であるとしたとき，
$\phi(t)$の一般解を求めよ。

\item 一般の解について，$\sin^2\theta\dot{\phi}=$定数 であることを示せ。
これを$\ell$とおく。

\item 一般の解について，
$\dot{\theta}^2+\frac{\ell^2}{\sin^2\theta}=$定数 であることを示せ。
これを$\alpha^2$とおく。

\item 上の2つの結果を用いて，$\left(\frac{d\theta}{d\phi}\right)^2$を
$\theta$の関数で表せ。ただし$\frac{d\theta}{d\phi}=
\frac{\dot{\theta}}{\dot{\phi}}$。

\item $\theta_0$を$\sin\theta_0=\frac{\ell}{\alpha}$を
満たすものとする。測地線の軌道において，$\theta$は$\theta_0$と
$\pi-\theta_0$の間にあることを示せ。
\end{enumerate}



\subparagraph{以上}




\end{document}
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