%Kiyoshi Shiraishi:量子力学演習 %
03/03/1999
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量子力学演習


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切り取って, pLaTeX


%量子力学演習ver. 2.7
%LaTeX2.09; platex を2回かけてください
%Kiyoshi Shiraishi
\documentstyle[12pt]{jarticle}
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%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 2.7}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{量子力学演習
\\
\smallskip 
{\large -- 1997  --}
}
\author{白石 清(山口大学理学部)}
\date{ver. 2.7}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}

\end{abstract}

\paragraph{1.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
次の一次元空間における波動関数を規格化せよ。
\begin{enumerate}
\item  $\psi_1(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{4\Delta^2}\right)$

\item  $\psi_2(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$
\end{enumerate}

\paragraph{2.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
一次元空間のシュレディンガー方程式
\be
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=
\left[-\frac{\hbar^2}{2m}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\psi
\ee
を満たす波動関数$\psi$について,
\begin{enumerate}
\item 確率保存の式
\be
\frac{\partial\rho}{\partial t}+
\frac{\partial j_x}{\partial x}=0
\ee
を示せ。ただしここで
\be
\rho\equiv\psi^*\psi ,~~~~~j_x\equiv\frac{-i\hbar}{2m}
\left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-
\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\right)
\ee
とする。

\item $\psi(x)=A e^{ikx}$と仮定したとき,$\rho$及び$j_x$を求めよ。
\end{enumerate}

\paragraph{3.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
関数の「内積」を
\be
\langle u(x), v(x)\rangle\equiv
\int^{\infty}_{-\infty}u^*(x)v(x)dx
\ee
とするとき,
$\langle f+\lambda g, f+\lambda g\rangle\ge0$($\lambda$は実数)
を用いて任意の$f(x)$,$g(x)$について
\be
\left|\langle f, g\rangle\right|^2\le
\langle f, f\rangle\langle g, g\rangle
\ee
が成立すること(Schwartzの不等式)を証明せよ。

ただし$\left|\langle f, g\rangle\right|<\infty$,
$\langle f, f\rangle<\infty$,$\langle g, g\rangle<\infty$とする。

\paragraph{4.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
一次元空間で,ポテンシャルのないとき,質量$m$の粒子を考える。
\begin{enumerate}
\item  次の関数はシュレディンガー方程式を満たすことを示せ。
\be
\psi(x)=\int^{\infty}_{-\infty}C(k)
\exp\left(ikx-i\frac{\hbar k^2}{2m}t\right)dk
\ee
ただし,$C(k)$は「よい性質を持つ」任意の関数。

\item  $C(k)$を$\psi(x,0)$を使って表せ。

\item  $\psi(x,0)=A\exp
\left(-\frac{x^2}{4\Delta^2}+ik_0x\right)$のとき
($A$,$\Delta$,$k_0$は定数),$\psi(x,t)$を求めよ。

\item  $\psi(x,t)$を用いて
\begin{enumerate}
\item  $x$の期待値$\langle x\rangle$,
及び$\langle x^2-\langle x\rangle^2\rangle$を求めよ。

\item  運動量の期待値$\langle p\rangle$,
及び$\langle p^2-\langle p\rangle^2\rangle$を求めよ。

\item  $\rho$及び$j_x$を求めよ。
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph{5.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
一次元のポテンシャル
\be
V(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
0      & (|x|\le a)\\
\infty & (|x|>a>0)
\end{array}
\right.
\ee
中の質量$m$の粒子の波動関数及びエネルギースペクトルを求めよ。

\paragraph{6.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
質量$m$の粒子が一次元ポテンシャル
\be
V(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
-W      & (|x|\le a)\\
 0      & (|x|>a>0)
\end{array}
\right.
\ee
の中にいるとき
\begin{enumerate}
\item  束縛状態のエネルギー(エネルギー $E<0$)は
次の関係を満たすことを示せ。(波動関数$\psi$)
\bea
\tan ja&=&\gamma/j~~~~~ただし~~~\psi(-x)=\psi(x) のとき \\
\cot ja&=&-\gamma/j~~~~~ただし~~~\psi(-x)=-\psi(x) のとき
\eea
ここで
$j^2=\frac{2m(E+W)}{\hbar^2}$,
$\gamma^2=-\frac{2mE}{\hbar^2}$とする。

\item  $W$と$a$がどんな値の時でも,少なくともひとつは束縛状態が
存在することを示せ。
\item  $W\rightarrow\infty$かつ$a\rightarrow 0$の極限で,
$2Wa$は有限の値$b$だとすると,どうなるか。
\end{enumerate}

\paragraph{7.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
以下に示すポテンシャル
\be
V(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
 0      & (x\le 0)\\
+W      & (x>0)
\end{array}
\right.
\ee
があり,質量$m$の粒子がエネルギー$E(>W>0)$を持っている状態を
考える。波動関数として次の形を仮定する。
\be
\psi(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
e^{ikx}+R e^{-ikx} & (x\le 0)\\
T e^{ikx}         & (x>0)
\end{array}
\right.
\ee
このとき
\begin{enumerate}
\item  $|R|^2$,$|T|^2$を求めよ。反射率,透過率を定義せよ。

\item  流束の保存について確かめよ。
\end{enumerate}

\paragraph{8.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
質量$m$,エネルギー$E(0a+b)
\end{array}
\right.
\ee
の中で運動している。ただし,$V_0>0$,$a>0$,$b>0$とする。
\begin{enumerate}
\item  固有エネルギー$E$($0)$が有限のとき,
エネルギースペクトルはどうなるか。$V_0$が正,負,の場合に考察せよ。  

\item  $2.$の場合で,$V_0$が負のとき,さらに$\frac{2mga}{\hbar^2}>>1$,
$E<0$としたとき,$E$を$\sigma$の関数$E(\sigma)$とみて,
グラフ上に図示せよ。$E(\frac{\pi}{2a})$の値はいくらか?

\item  同様に,$2.$の場合で,$V_0$が負のときを考える。
$1<\frac{2mga}{\hbar^2}<2$のときに$E(\sigma)$のグラフをかけ。
\end{enumerate}

\subparagraph{参考文献}

阿部寛 Mathematicaでみる数理物理入門II 
講談社サイエンティフィク p. 47

安田了・藤村行俊 Macintosh理系のスーパー技法 
アジソン・ウェスレイ・パブリッシャーズ・ジャパン発行星雲社 p. 213
\end{document}

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