%Kiyoshi Shiraishi:電磁気学(extra) %
02/14/2001
%

電磁気学(extra)


%

未完成


%LaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi 1998-1999
\documentstyle[12pt,graphics]{jarticle}
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\nn}{\nonumber \\}

\newcommand{\vnabla}{{\bf \nabla}}
\newcommand{\vsigma}{\vec{\sigma}}
%\newcommand{\vsigma}{{\bf \sigma}}
\newcommand{\vell}{\vec{\ell}}
%\newcommand{\vell}{{\bf \ell}}
\newcommand{\vA}{{\bf A}} %vector potential
\newcommand{\va}{{\bf a}} 
\newcommand{\vB}{{\bf B}} %磁場
\newcommand{\vD}{{\bf D}}
\newcommand{\vd}{{\bf d}}
\newcommand{\vE}{{\bf E}} %電場
\newcommand{\ve}{{\bf e}}
\newcommand{\vF}{{\bf F}}
\newcommand{\vf}{{\bf f}}
\newcommand{\vg}{{\bf g}}
\newcommand{\vH}{{\bf H}}
\newcommand{\vI}{{\bf I}}
\newcommand{\vi}{{\bf i}}
\newcommand{\vJ}{{\bf J}}
\newcommand{\vj}{{\bf j}}
\newcommand{\vk}{{\bf k}}
\newcommand{\vM}{{\bf M}}
\newcommand{\vn}{{\bf n}}
\newcommand{\vP}{{\bf P}}
\newcommand{\vp}{{\bf p}}
\newcommand{\vR}{{\bf R}}
\newcommand{\vr}{{\bf r}}
\newcommand{\vS}{{\bf S}}
\newcommand{\vs}{{\bf s}}
\newcommand{\vt}{{\bf t}}
\newcommand{\vv}{{\bf v}}
\newcommand{\vV}{{\bf V}}
\newcommand{\vx}{{\bf x}}
\newcommand{\vy}{{\bf y}}
\newcommand{\vz}{{\bf z}}
\newcommand{\vzero}{{\bf 0}}
\newcommand{\tr}{{\rm tr}}
\newcommand{\Tr}{{\rm Tr}}
\newcommand{\bx}{{x\!\!\!\mbox{-~}}}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 1.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{電磁気学(extra)}
\author{白石 清(山口大学理学部)}
\date{1999年06月24日改訂}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}

\end{abstract}

\newpage
\tableofcontents


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{運動する荷電粒子のつくる電磁場}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Li\'{e}nard-Wiechert potential}

まず,時間に依存する(ゲージ)ポテンシャルの解は,
\bea
\phi(\vr,t)&=&\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V
\frac{\rho(\vr',t-R/c)}{R}d^3\vr' \\
\vA(\vr,t)&=&\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V
\frac{\vj(\vr',t-R/c)}{R}d^3\vr'
\eea

ここで$R\equiv |\vr-\vr'|$である。

\bigskip

さて,まず原点に荷電粒子$q$があるとしよう。
その速度ベクトルを$\vv$とする。

\bigskip

観測点$\vr=\vR$では,もし荷電粒子が止まっていれば
\be
\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}
\ee

となる。電荷が動いているとすると,
その影響が伝わるのに$r/c$の時間がかかる。
その間に,電荷と観測点の距離はだいたい
\be
r-\frac{\vr\cdot\vv}{c}
\ee

となるであろう。したがって
\be
\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}
\frac{q}{1-\frac{\vr\cdot\vv}{rc}}
\ee

となることが期待される。
同様に
\be
\vA=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r}
\frac{q\vv}{1-\frac{\vr\cdot\vv}{rc}}
\ee

となることが期待される。

\bigskip

もっと完全な形は,
Li\'{e}nard-Wiechert potentialとよばれ,
次のようになる。
\bea
\phi(\vr,t)&=&\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{R}
\frac{q}{1-\frac{\vR\cdot\vv}{Rc}} \\
\vA(\vr,t)&=&\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{R}
\frac{q\vv}{1-\frac{\vR\cdot\vv}{Rc}}
\eea

ここで荷電粒子$q$は$\vr'(t')$の位置にあり,
\be
\vv(t')=\frac{d}{dt'}\vr'(t')
\ee

\be
\vR=\vr-\vr'(t')
\ee

\be
t'=t-\frac{R}{c}
\ee

である。

\subsection{電場と磁場}

\subsubsection{準備:2つの「時間」のある場合の「微分」(1)}

まず,時間座標の偏微分は
\be
\frac{\partial}{\partial t}=
\frac{\partial t'}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t'}
\ee

として扱えばよい。

\bigskip

気をつけるのは,空間座標の微分。

一般に,次のように考える。
\bea
\vnabla f&=&\vnabla^* f+
\left(\nabla t'\right)\frac{\partial f}{\partial t'} \\
\vnabla\times\vV&=&\vnabla^* \times\vV+
\left(\nabla t'\right)\times\frac{\partial\vV}{\partial t'}
\eea

ここで$\vnabla^*$は,$t'$を一定としたときの,空間座標の微分を表す。

\subsubsection{準備:$\frac{\partial t'}{\partial t}$}

\bea
\frac{1}{2}\frac{\partial R^2}{\partial t}&=&
R\frac{\partial R}{\partial t} \nn
&=&\vR\cdot\frac{\partial\vR}{\partial t} \nn
&=&\vR\cdot\frac{\partial(\vr-\vr'(t'))}{\partial t} \nn
&=&-\vR\cdot\left(\frac{\partial t'}{\partial t}
\frac{\partial\vr'(t')}{\partial t'}\right) \nn
&=&-\vR\cdot\vv\frac{\partial t'}{\partial t}
\eea

一方,
\be
R=c(t-t')
\ee

より,
\be
\frac{\partial R}{\partial t}=c\left(1-
\frac{\partial t'}{\partial t}\right)
\ee

したがって,
\be
\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{R}{R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}}=
\frac{1}{1-\frac{\vR\cdot\vv}{Rc}}
\ee

\subsubsection{準備:$\vnabla t'$}

同様に
\bea
R\frac{\partial R}{\partial x}&=&\vR\cdot\frac{\partial\vR}{\partial x} \nn
&=&(x-x')-\vR\cdot\vv\frac{\partial t}{\partial x}
\eea

一方
\be
R=c(t-t')
\ee

より,
\be
\frac{\partial R}{\partial x}=-c\frac{\partial t'}{\partial x}
\ee

したがって
\be
\frac{\partial t'}{\partial x}=
-\frac{x-x'}{c\left(R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}\right)}
\ee

すなわち
\be
\vnabla t'=
-\frac{\vR}{c\left(R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}\right)}
\ee

\subsubsection{準備:2つの「時間」のある場合の「微分」(2)}

以上より,
\be
\frac{\partial}{\partial t}=
\frac{R}{R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}}\frac{\partial}{\partial t'}
\ee

\bea
\vnabla f&=&\vnabla^* f-
\frac{\vR}{c\left(R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}\right)}
\frac{\partial f}{\partial t'} \\
\vnabla\times\vV&=&\vnabla^* \times\vV-
\frac{\vR}{c\left(R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}\right)}
\times\frac{\partial\vV}{\partial t'}
\eea

ここで$\vnabla^*$は,$t'$を一定としたときの,空間座標の微分を表す。

\bigskip

\be
s\equiv R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}
\ee

を定義すると,
\be
\frac{\partial}{\partial t}=
\frac{R}{s}\frac{\partial}{\partial t'}
\ee

\bea
\vnabla f&=&\vnabla^* f-
\frac{\vR}{cs}
\frac{\partial f}{\partial t'} \\
\vnabla\times\vV&=&\vnabla^* \times\vV-
\frac{\vR}{cs}
\times\frac{\partial\vV}{\partial t'}
\eea

と書ける。

\bigskip

\begin{quote}
\noindent
\underline{ex.}

\be
\vnabla^* s=\frac{\vR}{R}-\frac{\vv}{c}
\ee

\be
\frac{\partial s}{\partial t'}=
-\frac{\vR\cdot\vv}{R}+\frac{\vv^2}{c}-\frac{\vR}{c}\cdot
\frac{d\vv}{dt'}
\ee
\end{quote}

\subsubsection{電場}

Li\'{e}nard-Wiechert potentialは
\bea
\phi&=&\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{s} \\
\vA&=&\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vv}{s}
\eea

と書けるので,
\bea
\vE&=&-\vnabla\phi-\frac{\partial\vA}{\partial t} \nn
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{s^2}\vnabla s+
\frac{\mu_0 q}{4\pi}\left(\frac{\vv}{s^2}\frac{\partial s}{\partial t}-
\frac{1}{s}\frac{\partial\vv}{\partial t}\right) \nn
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{s^2}\vnabla s+
\frac{1}{c^2}\frac{\vv}{s^2}\frac{\partial s}{\partial t}-\frac{1}{c^2}
\frac{1}{s}\frac{\partial\vv}{\partial t}\right) \nn
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{s^2}\vnabla^* s-
\frac{\vR}{cs^3}\frac{\partial s}{\partial t'}+
\frac{R\vv}{c^2s^3}\frac{\partial s}{\partial t'}-\frac{R}{c^2s^2}
\frac{\partial\vv}{\partial t'}\right)
\eea

よって
\bea
\vE=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}
& &\left[\frac{1}{s^2}\left(\frac{\vR}{R}-\frac{\vv}{c}\right)\right. \nn
& &-\frac{1}{cs^3}\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)
\left(-\frac{\vR\cdot\vv}{R}+\frac{\vv^2}{c}-
\frac{\vR}{c}\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right) \nn
& &-\left.\frac{R}{c^2s^2}\frac{\partial\vv}{\partial t'}\right]
\label{eq:demba}
\eea

と書ける。

\bigskip

この形を書き直してみる。
(あとの磁場との比較が容易になる。)

\bigskip

まずまとめなおして
\bea
\vE=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}
& &\left[\frac{1}{s^2R}\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\right. \nn
& &+\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)
\left(-\frac{\vv^2}{c^2s^3}+\frac{\vR\cdot\vv}{Rcs^3}\right) \nn
& &+\left.\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\frac{1}{c^2s^3}\vR\cdot\frac{d\vv}{dt'}
-\frac{R}{c^2s^2}\frac{\partial\vv}{\partial t'}\right]
\eea

\bigskip

次のものを計算してみる。
\bea
& &\vR\times\left[\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\times
\frac{d\vv}{dt'}\right] \nn
&=&\vR\cdot\frac{d\vv}{dt'}\left(\vr-R\frac{\vv}{c}\right)-
\left(R^2-R\frac{\vR\cdot\vv}{c}\right)\frac{d\vv}{dt'} \nn
&=&\left(\vr-R\frac{\vv}{c}\right)\vR\cdot\frac{d\vv}{dt'}-
R\left(R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}\right)\frac{d\vv}{dt'}
\eea

これを用いると

\bea
\vE=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}
& &\left\{\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\left(
\frac{1}{s^2R}-\frac{\vv^2}{c^2s^3}+\frac{\vR\cdot\vv}{Rcs^3}\right)\right. \nn
& &+\left.\frac{1}{c^2s^3}\vR\times\left[\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\times
\frac{d\vv}{dt'}\right]\right\}
\eea

最後に
\be
\frac{\vR\cdot\vv}{Rcs^3}=\frac{R-s}{Rs^3}=
\frac{1}{s^3}-\frac{1}{Rs^2}
\ee

を用いると,
\bea
\vE=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}
& &\left\{\frac{1}{s^3}\left(1-\frac{\vv^2}{c^2}\right)
\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\right. \nn
& &+\left.\frac{1}{c^2s^3}\vR\times\left[\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\times
\frac{d\vv}{dt'}\right]\right\}
\eea

\subsubsection{磁場}

\bea
\vB&=&\vnabla\times\vA \nn
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{c^2}\vnabla\times\frac{\vv}{s} \nn
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{c^2}\left(
\frac{\vv}{s^2}\times\vnabla s+\frac{1}{s}\vnabla\times\vv\right) \nn
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{c^2}\left(
\frac{\vv}{s^2}\times\vnabla^* s-\frac{\vv}{cs^3}\times\vR
\frac{\partial s}{\partial t'}-
\frac{\vR}{cs^2}\times\frac{d\vv}{dt'}\right)
\eea

したがって
\bea
\vB=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{c^2}& &\left[
\frac{\vv}{s^2}\times\left(\frac{\vR}{R}-\frac{\vv}{c}\right)\right. \nn
& &-\frac{\vv}{cs^3}\times\vR\left(-\frac{\vR\cdot\vv}{R}+\frac{\vv^2}{c}-
\frac{\vR}{c}\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right) \nn
& &-\left.\frac{\vR}{cs^2}\times\frac{d\vv}{dt'}\right]
\eea

すなわち(ほとんど同じだが)
\bea
\vB=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{c^2}& &\left[
\frac{\vv}{s^2}\times\frac{\vR}{R}\right. \nn
& &-\frac{\vv}{cs^3}\times\vR\left(-\frac{\vR\cdot\vv}{R}+\frac{\vv^2}{c}-
\frac{\vR}{c}\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right) \nn
& &-\left.\frac{\vR}{cs^2}\times\frac{d\vv}{dt'}\right]
\label{eq:jiba}
\eea

\bigskip

ここで止めておいて,
(\ref{eq:demba})の式から
\be
\frac{\vR\times\vE}{Rc}
\ee

を計算してみると,
\bea
\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{Rc}& &\left[
-\frac{\vR\times\vv}{cs^2}\right. \nn
& &+\frac{R}{c^2s^3}\vR\times\vv\left(-\frac{\vR\cdot\vv}{R}+\frac{\vv^2}{c}-
\frac{\vR}{c}\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right) \nn
& &-\left.\frac{R}{cs^2}\vR\times\frac{d\vv}{dt'}\right]
\eea

これは少し整理すれば,(\ref{eq:jiba})と同じであることがわかる。


\subsubsection{電磁場のまとめ}

運動する荷電粒子のつくる電磁場は
\bea
\vE=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}
& &\left\{\frac{1}{s^3}\left(1-\frac{\vv^2}{c^2}\right)
\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\right. \nn
& &+\left.\frac{1}{c^2s^3}\vR\times\left[\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)\times
\frac{d\vv}{dt'}\right]\right\}
\eea

((一般には)遠方では第2項の方が効くことに注意。)

\be
\vB=\frac{\vR\times\vE}{Rc}
\ee

ただし
\be
s=R-\frac{\vR\cdot\vv}{c}
\ee

\subsection{ポインティングベクトル}

\subsubsection{遠方での輻射場の評価}

\bea
\frac{1}{\mu_0}\vE\times\vB&=&\frac{1}{\mu_0}\vE\times
\frac{\vR\times\vE}{Rc} \nn
&=&\underbrace{\frac{1}{\mu_0}|\vE|^2\frac{\vR}{Rc}}_{(1)}-
\underbrace{\frac{1}{\mu_0}\frac{\vE\cdot\vR}{Rc}\vE}_{(2)}
\eea

\bigskip

\bea
(1)&=&\frac{1}{\mu_0}\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\right)^2
\frac{\vR}{Rc}\left\{\frac{1}{s^6}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^2
\left(\vR-R\frac{\vv}{c}\right)^2\right. \nn
& &-2\frac{1}{c^2s^6}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)
\frac{R\vv}{c}\times\left(\vR\times\left[
\left(\vR-\frac{R\vv}{c}\right)\times\frac{d\vv}{dt'}\right]\right) \nn
& &+\left.\frac{1}{c^4s^6}\left|\vR\times\left[
\left(\vR-\frac{R\vv}{c}\right)\times\frac{d\vv}{dt'}\right]\right|^2
\right\}
\eea

十分遠方では
\bea
(1)&=&\frac{1}{\mu_0}\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\right)^2
\frac{\vR}{Rc}\frac{1}{c^4s^6}\left|\vR\times\left[
\left(\vR-\frac{R\vv}{c}\right)\times\frac{d\vv}{dt'}\right]\right|^2 \nn
&=&O(R^4/s^6)\approx O(1/R^2)
\eea

\bigskip

\bea
(2)&=&\frac{1}{\mu_0}\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\vE\frac{1}{Rc}\frac{1}{s^3}
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(R^2-R\frac{\vR\cdot\vv}{c}\right) \nn
&=&\frac{1}{\mu_0}\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{c}\frac{1}{s^2}
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\vE
\eea

十分遠方では,$\vE=O(R^2/s^3)$なので
\be
(2)=O(R^2/s^5)\approx O(1/R^3)
\ee

\bigskip

結局,十分遠方では
\be
\vS\approx \frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{1}{s^6}
\left|\vR\times\left[\left(\vR-\frac{R\vv}{c}\right)
\times\frac{d\vv}{dt'}\right]\right|^2\frac{\vR}{R}
\ee

\subsubsection{速度の遅い場合の発生電力}

\be
\frac{v}{c}<<1
\ee

\be
\vS\approx \frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{1}{R^6}
\left|\vR\times\left(\vR
\times\frac{d\vv}{dt'}\right)\right|^2\frac{\vR}{R}
\ee

ここで
\be
\vR\times\left(\vR\times\frac{d\vv}{dt'}\right)=
\left(\vR\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right)\vR-
R^2\frac{d\vv}{dt'}
\ee

を使うと
\bea
\vS&\approx&\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{1}{R^6}
\left[\left(\vR\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right)^2R^2-2
\left(\vR\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right)^2R^2+
R^4\left(\frac{d\vv}{dt'}\right)^2
\right]\frac{\vR}{R} \nn
&=&\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{1}{R^2}
\left[\left(\frac{d\vv}{dt'}\right)^2-
\left(\frac{\vR}{R}\cdot\frac{d\vv}{dt'}\right)^2
\right]\frac{\vR}{R}
\eea

これは,$\frac{d\vv}{dt'}$に垂直な方向に強い輻射があることを表す。

\bigskip

\noindent
\underline{輻射の電力}

\bea
W&=&\int_{R\rightarrow\infty}d^2\Omega R^2 \frac{\vR}{R}\cdot\vS \nn
&=&\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\int d^2\Omega
\left(\delta^{ij}-n^in^j\right)\dot{v}^i\dot{v}^j
\eea

\be
\int d^2\Omega=4\pi,~~~\int d^2\Omega n^in^j=\frac{4\pi}{3}\delta^{ij}
\ee

なので
\be
W=\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}|\dot{v}|^2
\ee

\subsubsection{輻射の電力(一般の場合)}

\be
\vS=\frac{1}{\mu_0}\vE\times\vB
\ee

\bea
\frac{dW}{d\Omega}d\Omega dt'&=&S_R R^2 d\Omega dt \nn
&=&S_R R^2 \frac{dt}{dt'} d\Omega dt' \nn
&=&S_R R s d\Omega dt'
\eea

ゆえに単位立体角当たりの輻射の電力は
\be
\frac{dW}{d\Omega}=\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{R}{s^5}
\left|\vR\times\left[\left(\vR-\frac{R\vv}{c}\right)
\times\frac{d\vv}{dt'}\right]\right|^2
\ee

したがって
\footnote{なんか本を読んで!}
\be
W=\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}
\frac{|\dot{\vv}|^2-\frac{|\vv\times\dot{\vv}|^2}{c^2}}{(1-\beta^2)^3}
\ee

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{さまざまな輻射}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{制動輻射}

$\dot{\vv}$と$\vv$が平行な場合。

\bigskip

一般に,輻射場は十分遠方で
\be
\vS=\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{1}{s^6}
\left|\vR\times\left[\left(\vR-\frac{R\vv}{c}\right)
\times\frac{d\vv}{dt'}\right]\right|^2\frac{\vR}{R}
\ee

を与える。今は,$\vv\times\dot{\vv}=0$なので
\be
\vS=\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{1}{s^6}
\left|\vR\times\left(\vR\times\dot{\vv}
\right)\right|^2\frac{\vR}{R}
\ee

したがって
\bea
\frac{dW}{d\Omega}&=&\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{R}{s^5}
\left|\vR\times\left(\vR\times\dot{\vv}\right)\right|^2 \nn
&=&\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}
\frac{\sin^2\theta}{\left(1-\frac{v}{c}\cos\theta\right)^5}
\dot{\vv}^2
\eea

速度が大きいときは,前方に強い輻射。


\subsection{サイクロトロン輻射}

$\dot{\vv}$と$\vv$が垂直な場合。

なおかつ,速度は比較的小さい場合。

\bigskip

速度は小さいので
\be
\frac{dW}{d\Omega}=\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\frac{1}{R^4}
\left|\vR\times\left(\vR\times\dot{\vv}\right)\right|^2
\ee

粒子は半径$a$の円軌道を角速度$\omega$で等速運動しているとする。

$\dot{\vv}=-\omega^2\vr'$である。

また,$r>>a$のとき,$\vR\approx \vr$

\be
|\vr\times(\vr\times\vr')|^2=a^2r^4(1-\cos^2\Theta)
\ee

であることを使って,($\Theta$は$\vr$と$\vr'$のなす角)
軌道運動の平均をとると,

\be
\frac{dW}{d\Omega}=\frac{q^2a^2\omega^4}{16\pi^2\epsilon_0c^3}
\frac{1+\cos^2\theta}{2}
\ee

ただし,$\theta$は軌道面に垂直な方向から測った角度。



\subsection{シンクロトロン輻射}

$\dot{\vv}$と$\vv$が垂直な場合。

なおかつ,速度は比較的大きい場合。

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{4-vectorおよびtensorによる記述}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{gauge field and field strength}

gauge field:
\be
A_{\mu}=\left(-\frac{\phi}{c},\vA\right)=
\left(-\frac{\phi}{c},A_i\right)
\ee

\bigskip

field strength:
\be
F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}
\ee

\bigskip

ここで
\be
\mu, \nu=0, 1, 2, 3,~~~~~i, j=1, 2, 3
\ee
\be
x^0=ct,~~~x^1=x,~~~x^2=y,~~~x^3=z
\ee
\be
\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}
\ee

そして
\be
A^0=-A_0,~~~A^1=A_1,~~~A^2=A_2,~~~A^3=A_3,~~~~~etc.
\ee

\bigskip

\bea
F_{i0}&=&\partial_iA_0-\partial_0A_i \nn
&=&\partial_i\left(-\frac{\phi}{c}\right)-
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}A_i \nn
&=&\frac{1}{c}E_i
\eea

\bea
F_{ij}&=&\partial_iA_j-\partial_jA_i \nn
&=&B^k \epsilon_{ijk}
\eea

ただし,$\epsilon_{ijk}$はレヴィ-チビタテンソル,
(完全反対称テンソルで,$\epsilon_{123}=1$),
また,一つの項におなじ添え字が出てくるときは
和をとるものとする(アインシュタインの規約)。

\bigskip

\be
F_{\mu\nu}=\left(
\begin{array}{rrrr}
0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\
\frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\
\frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{array}\right)
\ee

\be
F^{\mu\nu}=\left(
\begin{array}{rrrr}
0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\
-\frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
-\frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\
-\frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{array}\right)
\ee

\subsection{Maxwell equation}

current:
\be
j^{\mu}=\left(\rho c, \vj\right)
\ee

\bigskip

Maxwell equation:
\be
\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=-\mu_0j^{\nu}
\ee

\begin{quote}
exercise.  これを確かめよ。
\end{quote}

\bigskip

恒等式:
\be
\partial_{\mu}F_{\nu\lambda}+
\partial_{\nu}F_{\lambda\mu}+
\partial_{\lambda}F_{\mu\nu}=0
\ee

\begin{quote}
exercise.  のこりの方程式が出ることを確かめよ。
\end{quote}

\subsection{conservation of current}

Maxwell equationより
\be
\partial_{\nu}\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=
-\mu_0\partial_{\nu}j^{\nu}
\ee

$F$の反対称性より
\be
\partial_{\nu}\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=0
\ee

ゆえに
\be
\partial_{\nu}j^{\nu}=0
\ee

これは
\be
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vnabla\cdot\vj=0
\ee

である。

\subsection{gauge transformation}

\be
A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}+\partial_{\mu}\lambda
\ee

\subsection{gauge condition}

ローレンスゲージ
\be
\vnabla\cdot\vA+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0
\ee

は,次のように書ける。

\be
\partial_{\mu}A^{\mu}=0
\ee

\subsection{dual tensor}

\be
\tilde{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}
F_{\lambda\sigma}
\ee

ただし,$\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}$は完全反対称で
$\epsilon^{0123}=1$

\bigskip

\be
\tilde{F}^{\mu\nu}=\left(
\begin{array}{rrrr}
0 & B_x & B_y & B_z \\
-B_x & 0 & -\frac{E_z}{c} & \frac{E_y}{c} \\
-B_y & \frac{E_z}{c} & 0 & -\frac{E_x}{c} \\
-B_z & -\frac{E_y}{c} & \frac{E_x}{c} & 0
\end{array}\right)
\ee

\bigskip

\be
\partial_{\mu}\tilde{F}^{\mu\nu}=0
\ee

は
\be
\partial_{\mu}F_{\nu\lambda}+
\partial_{\nu}F_{\lambda\mu}+
\partial_{\lambda}F_{\mu\nu}=0
\ee

と等価である。

\subsection{invariant}

\be
\frac{1}{2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-\frac{1}{c^2}\vE^2+\vB^2
\ee

\be
\frac{1}{2}F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}=-\frac{2}{c}\vE\cdot\vB
\ee

\subsection{action}

\be
S=\int d^4x \left[-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+
A_{\mu}j^{\mu}\right]
\ee

\subsection{differential form}

\be
A=A_{\mu}dx^{\mu}
\ee

\be
F=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}
\ee

とすると
\be
F=dA
\ee

\bigskip

ゲージ変換
\be
A\rightarrow A+d\lambda
\ee

$d^2=0$より,$F$は不変。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{thebibliography}{99}

%\bibitem{To} ???・


%\end{thebibliography}

\end{document} 

戻る