%Kiyoshi Shiraishi:電磁気学(前期) %
02/14/2001
%

電磁気学(前期)


%

永遠に未完成・


%LaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi 1998-1999
\documentstyle[12pt,graphics]{jarticle}
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\nn}{\nonumber \\}

\newcommand{\vnabla}{{\bf \nabla}}
\newcommand{\vsigma}{\vec{\sigma}}
%\newcommand{\vsigma}{{\bf \sigma}}
\newcommand{\vA}{{\bf A}} %vector potential
\newcommand{\va}{{\bf a}} 
\newcommand{\vB}{{\bf B}} %磁場
\newcommand{\vD}{{\bf D}}
\newcommand{\vd}{{\bf d}}
\newcommand{\vE}{{\bf E}} %電場
\newcommand{\vF}{{\bf F}}
\newcommand{\vg}{{\bf g}}
\newcommand{\vH}{{\bf H}}
\newcommand{\vI}{{\bf I}}
\newcommand{\vi}{{\bf i}}
\newcommand{\vJ}{{\bf J}}
\newcommand{\vj}{{\bf j}}
\newcommand{\vk}{{\bf k}}
\newcommand{\vM}{{\bf M}}
\newcommand{\vn}{{\bf n}}
\newcommand{\vP}{{\bf P}}
\newcommand{\vp}{{\bf p}}
\newcommand{\vR}{{\bf R}}
\newcommand{\vr}{{\bf r}}
\newcommand{\vS}{{\bf S}}
\newcommand{\vs}{{\bf s}}
\newcommand{\vv}{{\bf v}}
\newcommand{\vx}{{\bf x}}
\newcommand{\vy}{{\bf y}}
\newcommand{\vz}{{\bf z}}
\newcommand{\vzero}{{\bf 0}}
\newcommand{\tr}{{\rm tr}}
\newcommand{\Tr}{{\rm Tr}}
\newcommand{\bx}{{x\!\!\!\mbox{-~}}}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 1.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{
電磁気学(前期)}
\author{
白石 清(山口大学理学部)
}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}

\end{abstract}

\newpage
\tableofcontents


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\underline{主役}   電磁場  electromagnetic field \\
\underline{わき役}  荷電粒子,etc. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip


荷電粒子は電磁場から力を受ける。

荷電粒子(とその運動)は電磁場をつくる。

\bigskip

電磁場と荷電粒子の\underline{相互作用}

$$
電磁場
\begin{array}{c}
\stackrel{力を及ぼす}{\longrightarrow} \\
\stackrel{場をつくる,きめる}{\longleftarrow}
\end{array}
荷電粒子\supset\left\{
\begin{array}{c}
電流 \\
電荷密度分布
\end{array}\right.
$$

\bigskip

『電磁場の古典力学』の法則

   =Maxwell方程式 で表される。

\bigskip

Maxwellの方程式 (真空中)
\be
\left\{
\begin{array}{ll}
\vnabla\cdot\vE=\frac{\rho}{\epsilon_0} & (電場に対する\mbox{Gauss}の法則)\\
\vnabla\cdot\vB=0 & (磁場に対する\mbox{Gauss}の法則)\\
\vnabla\times\vB=\mu_0\vj+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vE}{\partial t}
 & (\mbox{Amp\`ere}の法則)\\
\vnabla\times\vE=-\frac{\partial\vB}{\partial t}
 & (\mbox{Faraday}の(電磁誘導の)法則)
\end{array}
\right.
\ee

$\vE$:電場

$\vB$:磁場 (ここではこう呼ぶ。) 磁束密度

$\rho$:電荷密度 (電荷密度分布,荷電分布,etc.)

$\vj$:電流密度

\bigskip

$\epsilon_0$:真空の誘電率

$\mu_0$:真空の透磁率

$c$:光速

\be
c^2=\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}
\ee

\bigskip

Maxwellの方程式$\Rightarrow$電磁波

    (電波,microwave,赤外線,可視光,紫外線,X線,$\gamma$線)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{荷電粒子と静電場}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

静電場:時間に依存しない

\subsection{荷電粒子(間)に働く力}

電荷$q$:「荷電粒子が電荷$q$をもっている。」

$q$の値,(正負の)実数値

\bigskip

\noindent
電荷$q$と電荷$q'$の間に働く力の大きさ(静止しているとき)

\be
F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qq'}{r^2}
\label{eq:c1}
\ee

$F[N]$ Newton

$q[C]$ Coulomb

$r[m]$

では$\epsilon_0$の単位は?

\bigskip

$q$が$q'$から受ける力とみると,

力の向きは$q$と$q'$の位置をとおる直線上で

\be
q,q'が\left\{
\begin{array}{l}
同じ符号のとき\longrightarrow 反発する\\
反対符号のとき\longrightarrow 引きつける
\end{array}\right\}向き
\label{eq:c2}
\ee

\bigskip

(\ref{eq:c1})+(\ref{eq:c2})$\rightarrow$(Coulombの法則)

\bigskip

逆に$q'$が$q$からうける力は逆方向,(\ref{eq:c1})に$``-''$をつける。

\bigskip

\underline{ベクトルを用いて書き表す}

電荷$q$の位置ベクトル $\vr$

電荷$q'$の位置ベクトル $\vr'$

\bigskip

($\vr$の位置の)$q$が受ける力

\be
\vF=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}qq'\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}
\label{eq:e1}
\ee

  $$\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}=
\underbrace{\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|}}_{単位ベクトル}
\cdot\frac{1}{|\vr-\vr'|^2}$$


\subsection{静電場}

\subsubsection{クーロン場}

$q'$が原点にある場合,
\be
\vF=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}qq'\frac{\vr}{r^3},
\ee
ただし,$r=|\vr|$。

これは
\be
\vF=q\vE
\label{eq:e2}
\ee
と書くことができる。
ここで
\be
\vE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}q'\frac{\vr}{r^3}
\ee

\bigskip

  $\vE$:(静)電場

\bigskip

$q$は$\vE$から力を受ける(近接力)。

$q'$が$\vE$をつくる(決定する)。

\bigskip

電荷$q$の位置ベクトル $\vr$

電荷$q'$の位置ベクトル $\vr'$

\bigskip

(\ref{eq:e1})(\ref{eq:e2})より

\be
\vE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}q'\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3},
\ee
ここで$\vE=\vE(\vr)$:位置の“関数”。

\bigskip

このような,点電荷のつくる静電場を,
\underline{クーロン場}と呼ぶ。

\subsubsection{複数の電荷のつくる静電場}

・複数個の電荷$q_1,q_2,\dots,q_N$から

 位置$\vr$にある$q$が受ける力は

\be
\vF=\sum_{i=1}^N \vF_i~~~   (合力\Leftarrow ベクトルの足し算)
\ee
\be
\vF_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}qq_i\frac{\vr-\vr_i}{|\vr-\vr_i|^3},
~~~(i=1,2,\dots,N)
\ee

よってこのときの静電場は

\be
\vE=\sum_{i=1}^N\frac{1}{4\pi\epsilon_0}q_i\frac{\vr-\vr_i}{|\vr-\vr_i|^3}
\ee

クーロン場の足しあわせ(集まり)で書ける。

\subsubsection{電荷密度分布のつくる静電場}

\noindent
・電荷密度分布がある場合

  電荷密度 $\rho(\vr')$


  位置$\vr'$にある微小体積 $\Delta^3\vr'$


この微小体積中の電荷は $\rho(\vr')\Delta^3\vr'$ だから,

いくつかのたしあわせを考えると


\be
\vE(\vr)=\sum_{i}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\rho(\vr_i)\Delta^3\vr_i
\frac{\vr-\vr_i}{|\vr-\vr_i|^3}.
\ee

ここで位置$\vr_i$の電荷$\rho(\vr_i)\Delta^3\vr_i$の寄与の和とした。

$\Delta^3\vr_i\rightarrow 0$とすると,和は積分となり,

\be
\vE(\vr)=\int_{V}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\rho(\vr')
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}d^3\vr'.
\label{eq:Eint}
\ee

$V$は考えている全領域。

これが領域$V$で電荷密度(分布)$\rho(\vr)$が与えられている時の
静電場である。

\bigskip

ちなみに,領域$V$内の全電荷は
\be
\sum_{i}\rho(\vr_i)\Delta^3\vr_i\rightarrow\int_V\rho(\vr)d^3\vr
\ee

\subsubsection{デルタ関数}

\noindent
・ここで再び 荷電粒子(点電荷(point charge))の場合

\be
\vE(\vr)=\sum_{i=1}^N\frac{1}{4\pi\epsilon_0}q_i
\frac{\vr-\vr_i}{|\vr-\vr_i|^3}.
\ee

この場合も,電荷密度分布で表せるとすれば,

電荷分布は

\be
\rho(\vr)=\sum_{i=1}^N q_i\delta^3(\vr-\vr_i)
\label{eq:delta1}
\ee

ここで

   $\delta^3(\vr)$:3次元のデルタ関数%
\footnote{
$\delta(\vr)$とも書く。
$\delta^3(\vr)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)$ (直交座標)。
}

\bigskip

\begin{quote}
\underline{デルタ関数の性質}

\be
\delta^3(\vr)=0,~~~ただし\vr\ne\vzero のとき
\ee

\be
\delta^3(-\vr)=\delta^3(\vr)
\ee

\be
\int_V\delta^3(\vr)d^3\vr=1
\ee

\be
\int_V f(\vr)\delta^3(\vr)d^3\vr=f(\vzero)
\ee
   (ただし,$V$は$\vzero$(原点)をふくむ)
\end{quote}

\bigskip

実際,(\ref{eq:delta1})を(\ref{eq:Eint})に代入してみると

\bea
\vE(\vr)&=&\int_{V}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\underbrace{\sum_{i=1}^N q_i\delta^3(\vr'-\vr_i)}_{\rho(\vr')}
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}d^3\vr' \nn
&=&\sum_{i=1}^N\frac{q_i}{4\pi\epsilon_0}
\int_{V} \delta^3(\vr'-\vr_i)
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}d^3\vr' \nn
&=&\sum_{i=1}^N\frac{q_i}{4\pi\epsilon_0}
\frac{\vr-\vr_i}{|\vr-\vr_i|^3}d^3\vr'.
\eea

\bigskip

全電荷は


\bea
\int_{V}
\underbrace{\sum_{i=1}^N q_i\delta^3(\vr'-\vr_i)}_{\rho(\vr')}
d^3\vr'
&=&\sum_{i=1}^N q_i
\int_{V} \delta^3(\vr'-\vr_i)d^3\vr' \nn
&=&\sum_{i=1}^N q_i.
\eea

\subsection{Gaussの法則}

\subsubsection{クーロン場の球面上での積分}

$q'$のつくるクーロン場

$q'$は原点$\vzero$にあるとする。

そのとき電場は

\be
\vE(\vr)=\frac{q'}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vr}{r^3}
=\frac{q'}{4\pi\epsilon_0}\frac{\hat{\vr}}{r^2}
\ee

\bigskip

原点を中心に半径$r$の球面をとる。

球面上で$\vE$の大きさは

\be
E=|\vE|=\frac{q'}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}
=E_r   (\vE の\hat{\vr}成分(動径成分))
\ee

一方,球面の表面積は

\be
4\pi r^2=S
\ee

以上より,この場合

\be
\epsilon_0 E_r S=q'
\ee

という簡単な関係がなりたつ。これは特殊な場合。

これを一般に拡張する。

\bigskip

\noindent
・面積分を用いた形に拡張する。

  ただしまず半径$r$の球面で考えよう。(のちにさらに一般化)

    極座標$(r,\theta,\varphi)$の位置の

    微小面積の大きさを(角度座標で)表すと

\be
\Delta\sigma=r^2\sin\theta\Delta\theta\Delta\varphi
\ee

向きも考慮したものを 面積要素ベクトル と呼ぶ。
\be
\Delta\vsigma
\ee

今,球面の場合,
\be
|\Delta\vsigma|=\Delta\sigma=r^2\sin\theta\Delta\theta\Delta\varphi~~~
(微小面積の大きさ)
\ee
\be
  向き  \hat{\vr}  (動径方向)
\ee

\bigskip

一般には,\underline{微小面積の法線方向}

単位法線ベクトルを$\vn$とすると
\be
\Delta\vsigma=\vn\Delta\sigma
\ee

\bigskip

さて,さきの例の球面,そしてクーロン場の場合

\be
\vE\cdot\Delta\vsigma=E_r\Delta\sigma_r=
\underbrace{\frac{q'}{4\pi\epsilon_0}\sin\theta\Delta\theta\Delta\varphi}_{%
rによらない}
\ee

どんな大きさの球面をとっても,これを積分した値
\be
\int_S \vE\cdot d\vsigma
\ee

は同じ値($q'/\epsilon_0$)である。

\bigskip

\begin{quote}
球面の場合,半径によらないことの直感的説明図

$$\vE_1\cdot d\vsigma_1=\vE_2\cdot d\vsigma_2$$

$$d\sigma_1:d\sigma_2=r_1^2:r_2^2$$

$$E_1:E_2=r_1^{-2}:r_2^{-2}$$
\end{quote}

\subsubsection{積分する曲面が球面でないとき}

\be
d\vsigma=\vn d\sigma
\ee
$\vn$は$d\sigma$に垂直な単位ベクトル

\bigskip

\be
\vE\cdot d\vsigma=\vE\cdot\vn d\sigma=Ed\sigma
\ee

\bigskip

\be
\vE\cdot d\vsigma=E\cos\alpha d\sigma
\ee

\bigskip

ここでの$\vE\cdot d\vsigma=E_r\cos\alpha d\sigma$

ところが,同じ位置(原点からの距離$r$)での球面の場合に
\be
d\sigma_r=\cos\alpha d\sigma
\ee
である。

ゆえに傾いた微小面でも,
クーロン場では$\vE$は$E_r$のみなので,
\be
\vE\cdot d\vsigma=E_r d\sigma_r
\ee

そのうえ,原点から見て同じ立体角を張る
微小面では,同じとなる。原点からの距離によらない。

従って,全立体角についての積分したものは

ある任意半径(たとえば単位半径)の球面上でのものとおなじ
$\int_S \vE\cdot d\vsigma$

\bigskip

したがって閉曲面内部に電荷を含むとき
\be
\int_S\epsilon_0\vE\cdot d\vsigma=
\epsilon_0\frac{q'}{4\pi\epsilon_0}
\underbrace{
\int_{球面}\sin\theta d\theta d\varphi}_{全立体角}=q'
\ee

\bigskip

よって$q'$が閉曲面$S$の内部にあるとき

クーロン場$\vE$は
\be
\int_S\epsilon_0\vE\cdot d\vsigma=q'
\ee
をみたす。

\bigskip

閉曲面$S$の内部に電荷がないときは?

\smallskip

この場合,1つの微小立体角を考えると,必ず2つ(偶数個)
の微小面積要素がある。

$\rightarrow$
2つ(ずつ)の寄与がうち消しあう。

(法線ベクトルの向きに注意。)

\bigskip

電荷$q'$と曲面$S$があるとき
\be
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=q'~~~(S内にq'があるとき)
\ee
\be
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=0~~~(S内にq'がないとき)
\ee


\bigskip

当然$\vE$はたしあわせができるから,任意の個数の電荷の場合にも
拡張ができる。

\smallskip

電荷$q_i$と曲面$S$があるとき
\be
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=\sum_{
S内部にあるものについて}q_i=(S内の全電荷)
\ee

\bigskip

\noindent
まとめ

\smallskip

積分形のGaussの法則

静電場において,全体の電場$\vE(\vr)$の面積分の値は
閉曲面$S$の内部の電荷の和$Q$を$\epsilon_0$で割ったものになる

\be
\int_S \vE\cdot d\vsigma~~\left(=\int_S \vE\cdot\vn d\vsigma\right)
=\frac{Q}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho(\vr) d^3\vr
\ee

$\vn(\vr):$閉曲面$S$の$\vr$における単位法線(垂直)ベクトル

クーロン場から求めた$\rightarrow$Gaussの法則 ,これをより基本的とみる。

○クーロン場の場合

電荷 $q$

・$S$を$q$の位置を中心とした半径$r$の球面とする
\be
E_r=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}
\ee
\be
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=\epsilon_0 E_r 4\pi r^2=q
\ee

・$S$が球面でないとき
\be
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=
\int_{Sに含まれるqの位置を中心とした球面}\epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=q
\ee

・$S$の内部に$q$がないとき
\be
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=0
\ee

・複数の電荷のある場合
\be
\vE=\sum_{i=1}^{N}\vE_i,~~~~~\vE_i=\frac{q_i}{4\pi\epsilon_0}
\frac{\vr-\vr_i}{|\vr-\vr_i|^3}
\ee
\bea
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma&=&
\int_S \epsilon_0 \left(\vE_1+\vE_2+\cdots+\vE_N\right)\cdot d\vsigma \nn
&=&
\sum_{S内のもの}q_i=Q~~(Vの全電荷)
\eea

・電荷密度分布のある場合
\be
\vE(\vr)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\rho(\vr')
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}d^3\vr'
\ee
複数の電荷の極限としてとらえれば
\be
\int_S \epsilon_0 \vE\cdot d\vsigma=
\sum_{i}q_i \Delta^3\vr_i=\int_V \rho(\vr)d^3\vr=Q~~(V内の全電荷)
\ee

$S$は$V$の境界

\subsubsection{電気力線と電束密度}

クーロン場

ある断面を垂直に横切る電気力線の密度: $|\epsilon_0 \vE|$



\subsection{Gaussの法則とGaussの定理}

ガウスの定理(数学!)
\be
\int_V \vnabla\cdot\vE d^3\vr=\int_S \vE\cdot d\vsigma
\ee
($\vE$は何でもよい)

$\vnabla\cdot\vE$:$\vE$のdivergence(発散)
\be
\vnabla\cdot\vE=\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}
\ee
(直交座標系,デカルト座標,cartesian coordinates)

\bigskip

\begin{quote}
\noindent
\underline{ガウスの定理の説明}

図の微小体積の表面上での積分を考える。
まず$x$方向に垂直な面について考える。

\be
\Delta\vsigma_x=-\hat{\vx}\Delta y \Delta z,~~~
\Delta\vsigma_{x+\Delta x}=\hat{\vx}\Delta y \Delta z,
\ee

$\hat{\vx}$は正の$x$軸方向の単位ベクトル

この2つの面についての表面「積分」は
\bea
\sum_{2つの面}\vE\cdot\Delta\vsigma&=&
\vE(x+\Delta x)\cdot\Delta\vsigma_{x+\Delta x}+\vE(x)\cdot\Delta\vsigma_{x} \nn
&=&
E_x(x+\Delta x)\Delta y \Delta z-E_x(x)\Delta y \Delta z \nn
&=&
\frac{E_x(x+\Delta x)-E_x(x)}{\Delta x}\Delta x \Delta y \Delta z \nn
&\approx&
\frac{\partial E_x(x)}{\partial x}\Delta x \Delta y \Delta z
\eea

$y$方向に垂直な面,$z$方向に垂直な面についても同様。

ゆえに,6つの全部の面についての和として
\bea
\sum\vE\cdot\Delta\vsigma\!\!\!&=&
\!\!\!\frac{\partial E_x}{\partial x}\Delta x \Delta y \Delta z+
\frac{\partial E_y}{\partial y}\Delta x \Delta y \Delta z+
\frac{\partial E_z}{\partial z}\Delta x \Delta y \Delta z \nn
&=&
(\vnabla\cdot\vE)\Delta x \Delta y \Delta z
\eea

一般の$S$(及び$V$)については
微小な要素を無限小と考え,無限小要素のたしあわせで表せる。
$\rightarrow$積分 (つみあげて有限体積をつくる)

\be
\sum_{V内の全ての微小体積要素}\vnabla\cdot\vE
\underbrace{\Delta x \Delta y \Delta z}_{\Delta^3\vr}
=\sum_{S上の全ての面積要素}\vE\cdot d\vsigma
\ee
これの極限が
\be
\int_V \vnabla\cdot\vE d^3\vr=\int_S \vE\cdot d\vsigma
\ee
\end{quote}

☆ガウスの定理をガウスの法則に適用すると
\be
\left\{
\begin{array}{cc}
ガウスの法則: & \int_S \epsilon_0\vE\cdot d\vsigma=
\int_V \rho(\vr) d^3\vr \\
ガウスの定理: & \int_V \vnabla\cdot\vE d^3\vr=
\int_S \vE\cdot d\vsigma
\end{array}
\right.
\ee

これらより
\be
\int_V (\epsilon_0\vnabla\cdot\vE-\rho(\vr)) d^3\vr=0
\ee

$V$は任意でよいから

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
ガウスの法則の微分形 \\
$\vnabla\cdot\vE=\frac{\rho(\vr)}{\epsilon_0}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\noindent
クーロン場について,ガウスの法則の微分形の意味

原点に電荷$q$
\be
\vE=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vr}{r^3}
\ee

次のような計算をしてみる

\be
\frac{\vr}{r^3}=\left(
\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},
\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},
\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)
\ee

\bea
& &\vnabla\cdot\left(\frac{\vr}{r^3}\right) \nn
&=&
\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+
\frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+
\frac{\partial}{\partial z}\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\
&=&
\frac{3}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-
\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
&=&
0~~~(x=y=0を除く。) \nn
&\rightarrow& \vnabla\cdot\left(
\frac{\vr}{r^3}\right)=0~~~(\vr\ne 0のとき)
\eea

\smallskip

$\vr=0$のところでは?

$\int_V \vnabla\cdot\left(\frac{\vr}{r^3}\right) d^3\vr$
を考えてみる。

但し,$V$は内部に原点を含む

\be
\int_V \vnabla\cdot\left(\frac{\vr}{r^3}\right) d^3\vr
\underbrace{=}_{Gaussの定理}
\int_S \left(\frac{\vr}{r^3}\right)\cdot d\vsigma=4\pi
\ee

$\vr\ne 0$では$\vnabla\cdot\left(
\frac{\vr}{r^3}\right)=0$; そして積分したとき定数,

従って
\be
\vnabla\cdot\left(
\frac{\vr}{r^3}\right)=4\pi\underbrace{\delta^3(\vr)}_{デルタ関数}
\ee

\smallskip

これを使うと,いろいろな量の関係がすぐに導出できる。

\begin{quote}
\underline{例}

\be
\vE(\vr)=\int_V \frac{\rho(\vr')}{4\pi\epsilon_0}
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}d^3\vr
\ee
の場合

\bea
\vnabla\cdot\vE(\vr)&=&\int_V \frac{\rho(\vr')}{4\pi\epsilon_0}
\vnabla\cdot\left(\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}\right)d^3\vr \nn
&=&\int_V \frac{\rho(\vr')}{4\pi\epsilon_0}
4\pi\delta^3(\vr-\vr')d^3\vr \nn
&=&\frac{\rho(\vr)}{\epsilon_0}
\eea

ゆえに
\be
\vnabla\cdot\vE(\vr)=\frac{\rho(\vr)}{\epsilon_0}
\ee
\end{quote}



\subsection{静電位}

(静)電位$\phi$を次で定義

\be
静電場~~~\vE=-\vnabla\phi
\ee

gradient: 直交座標では
\be
\vnabla\phi=\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},
\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}
\right)
\ee

\smallskip

クーロン場を考えてみる。
\be
\vE=\frac{q'}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vr}{r^3}~~~(原点に電荷q'が存在)
\ee

この場合
\be
\phi=\frac{q'}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}~~~(原点に電荷q'が存在)
\ee

(注:本当は定数をつけたす不定性がある。無限遠で$0$ととるのが自然。)

\begin{quote}
\be
\vnabla\frac{1}{r}=-\frac{\vr}{r^3}
\ee
\be
\frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\ee
を用いて具体的に確かめよ。

ちなみに
\be
\vnabla r=\frac{\vr}{r}
\ee
\end{quote}

\be
\vE=\int_V \frac{\rho(\vr')}{4\pi\epsilon_0}
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|^3}d^3\vr'
\ee

のときには
\be
\phi=\int_V \frac{\rho(\vr')}{4\pi\epsilon_0}
\frac{1}{|\vr-\vr'|}d^3\vr'
\ee

$\vE$を直接$\rho$から求めるよりも,
先に$\phi$を求める方が容易な場合が多い。

$\phi$を静電ポテンシャルともいう。

\bigskip

静電場は静電ポテンシャル$\phi$により
\be
\vE(\vr)=-\vnabla\phi(\vr)
\ee
と表される。

ガウスの法則より
\be
\vnabla\cdot\vE(\vr)=\frac{1}{\epsilon_0}\rho(\vr)~~~(\rho :電荷密度)
\ee

ガウスの法則を,電位$\phi$を用いて表す。

\be
\vnabla\cdot\vE=\vnabla\cdot(-\vnabla\phi)=-\vnabla\cdot\vnabla\phi
=-\nabla^2\phi
\ee

ここで,$\nabla^2$(あるいは$\Delta$)はLaplacian(ラプラシアン),
直交座標では
\be
\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+
\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\ee

ゆえに
\be
\nabla^2\phi=-\frac{1}{\epsilon_0}\rho
\ee
これをポアソンの方程式とよぶ。

電荷のない真空中では($\rho\equiv 0$)
\be
\nabla^2\phi=0
\ee
これを特にラプラスの方程式とよぶ。

\begin{quote}
ちなみに
\bea
\nabla^2\frac{1}{r}&=&\vnabla\cdot\nabla\frac{1}{r}\nn
&=&\vnabla\cdot\left(-\frac{\vr}{r^3}\right)\nn
&=&-4\pi\delta^3(\vr)
\eea
\end{quote}

\bigskip

\noindent
\underline{電位差}

次のようなものをまず考える。

\bea
\vE(\vr)\cdot d\vr&=&-d\vr\cdot\vnabla\phi \nn
&=&-\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}dx+
\frac{\partial\phi}{\partial y}dy+
\frac{\partial\phi}{\partial z}dz
\right) \nn
&=&-\underbrace{d\phi}_{\phi の全微分}
\eea

\be
\int_{P_1}^{P_2}\vE\cdot d\vr=
\underbrace{\phi(\vr_1)-\phi(\vr_2)}_{P_1 とP_2 の電位差}
\ee
これは途中の積分経路によらない。

\smallskip

電荷$q$が電場からうける力
\be
\vF=q\vE
\ee

\be
\underbrace{\int_{P_1}^{P_2}\vF\cdot d\vr}_{qが電場からうける仕事}=
q\int_{P_1}^{P_2}\vE\cdot d\vr=
q\left(\phi(\vr_1)-\phi(\vr_2)\right)
\ee
(これは$q>0$,$\phi(\vr_1)>\phi(\vr_2)$ならば正)

$q$の静電場からうける仕事は電位差のみによる。

(仕事の大きさは道筋には関係ない)$\rightarrow$保存力

静電場は,保存力を荷電粒子に及ぼす。

(注:特に$P_1=P_2$($\vr_1=\vr_2$)のとき,うける仕事は$0$。)

\bigskip

数学(算数)的恒等式:
\be
\vnabla\times\vnabla\phi=\vzero
\ee

rotation:直交座標では
\be
\vnabla\times\vA=\left(
\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},
\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},
\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}
\right)
\ee

したがって
\be
\vnabla\times\vE=-\vnabla\times\vnabla\phi=\vzero~~~~(check!)
\ee

ゆえに
\be
\vnabla\times\vE=\vzero
\ee

(ただし$\vE$が\underline{静}電場のとき)

\begin{quote}
{\bf 余談}

場の変分原理でポアソン方程式を導く作用
\be
S=\int dt\int d^3x \left[\frac{1}{2}\epsilon_0\left(\vnabla\phi
\right)^2-\rho\phi\right]
\ee
\end{quote}


\subsection{例題}

\subsubsection{例1}

半径$a$の一様に帯電している球体がある。
このときの電場を求めなさい。
但し,全電荷を$Q$とする。

\bigskip

まず(球)対称性から
$$ |\vE|=E_r(r)$$
ただし原点を中心とし,$r$は動径を表す。

原点を中心とした半径$R$の球面$S$を考える。

\smallskip

・$Ra$のとき

ガウスの法則より
$$\epsilon_0\int_S\vE\cdot d\vsigma=
\epsilon_0 E_r(R)4\pi R^2=Q$$

すなわち
$$E_r(R)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{R^2}~~~(R>a)$$

\smallskip

まとめると
$$E_r(r)=\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{r}{a^3} & (ra)
\end{array}
\right.
$$

\bigskip

\noindent
別解I

対称性より$\vE=E_r\hat{\vr}$

\bea
E_r&=&\vE\cdot\frac{\vr}{r}\nn
&=&\int_V\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\frac{r^2-\vr\cdot\vr'}{r|\vr-\vr'|^3}d^3\vr'
\eea

$(\vr\cdot\vr=r^2)$

\smallskip

一様に帯電しているということより$\rho(\vr)=\rho_0$(一定)

ここで$\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{球の体積}\rho_0=Q$

\be
E_r=\int\int\int\frac{\rho_0}{4\pi\epsilon_0}
\frac{r^2-rr'\cos\theta}{r(r^2+{r'}^2-2rr'\cos\theta)^{3/2}}
{r'}^2 dr' \sin\theta d\theta d\varphi
\ee

$(\vr\cdot\vr'=rr'\cos\theta)$

\be
E_r=2\pi\frac{\rho_0}{4\pi\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2\int_0^{\pi}
d\theta\sin\theta
\frac{r^2-rr'\cos\theta}{r(r^2+{r'}^2-2rr'\cos\theta)^{3/2}}
\ee
$x\equiv\cos\theta$とすると$dx=d(\cos\theta)=-\sin\theta d\theta$

\be
E_r=\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2\int_{-1}^{1}dx
\frac{r^2-rr'x}{r(\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x})^{3}}
\ee

ここで
\bea
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}}
\right)&=&-\frac{1}{2}\frac{-2rr'}{(\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x})^{3}}\nn
&=&\frac{rr'}{(\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x})^{3}}
\eea

また
\be
\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}
=\frac{-rr'}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}}
\ee

これらを用いると
\bea
E_r&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2\int_{-1}^{1}dx
\frac{1}{r}\left\{\frac{\frac{1}{2}(r^2-{r'}^2)}{(\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x})^{3}}\right.\nn
&+&
\left.\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}}\right\}\nn
&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2
\frac{1}{r}\left[\frac{1}{2}\frac{r^2-{r'}^2}{rr'}\frac{1}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}}\right.\nn
&-&
\left.\frac{1}{2}\frac{1}{rr'}\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}\right]^{x=+1}_{x=-1}\nn
&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\int_0^a dr'{r'}
\left[\frac{-{r'}^2+rr'x}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}}\right]^{x=+1}_{x=-1}
\eea

ここで
\bea
\left[\frac{-{r'}^2+rr'x}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}}\right]^{x=+1}_{x=-1}
&=&
\frac{r'(r-r')}{|r-r'|}+\frac{r'(r+r')}{|r+r'|}\nn
&=&
\left\{
\begin{array}{cc}
2r' & (r>r')\\
0   & (ra$のとき
\bea
E_r&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\frac{1}{r^2}
\int_0^a dr'{r'} (2r')\nn
&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\frac{2}{r^2}\frac{a^3}{3}\nn
&=&\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\frac{a^3}{r^2}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}
\eea

別解Iおわり。

\bigskip

\noindent
別解II

静電ポテンシャルから求める。

$$\vE=-\vnabla\phi$$
対称性から
$$E_r(r)=-\frac{\partial}{\partial r}\phi$$

\be
\phi(\vr)=\int_V\frac{\rho(\vr')}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\vr-\vr'|}d^3\vr'
\ee

\bea
\phi&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2\int_{-1}^{1}dx
\frac{1}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}}\nn
&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2\left[
-\frac{1}{rr'}\sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'x}\right]\nn
&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2\left\{
-\frac{1}{rr'}(|r-r'|-|r+r'|)\right\}
\eea

ここで
\be
-\frac{1}{rr'}(|r-r'|-|r+r'|)=\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{2}{r} & (r>r')\\
\frac{2}{r'} & (ra$のとき
\bea
\phi&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_0^a dr'{r'}^2 \frac{2}{r}\nn
&=&\frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\frac{2}{r}\frac{a^3}{3}\nn
&=&\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\frac{a^3}{r}
\eea

\bigskip

$ra$のとき
\be
\phi=\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\frac{a^3}{r}
=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}
\ee

\bigskip

$ra$のとき
\be
E_r=-\frac{d}{dr}\left[\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}\right]=
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}
\ee

\bigskip

ちなみに,
$\phi$の微分係数が連続$\Leftrightarrow$ $E_r$連続。
(ここでは$r=a$で。)

\bigskip

別解IIおわり。

\bigskip

\subsubsection{例2}
平行板コンデンサ。

2枚の板間のみに一様な電場$\vE$

ガウスの法則
\be
\int_S\vE\cdot d\vsigma=\frac{Q}{\epsilon_0}
\ee
において
\be
\int_S\vE\cdot d\vsigma=E\Delta S
\ee
ここで$E=|\vE|$。

また,
\be
\frac{Q}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\sigma\Delta S
\ee
ここで$\sigma$は電荷(面)密度。

ゆえに
\be
E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}
\ee

\bigskip

コンデンサとしての物理量

\be
Q=CV
\ee
$C$は静電容量。

\be
V=Ed
\ee
$d$は2枚の板の間隔。

$$\vE=-\vnabla\phi \rightarrow E=-\frac{\partial\phi}{\partial x}$$
さらに,$E$は一様であるから
\be
\phi=\underbrace{\phi_0}_{定数}-Ex
\ee

電位差
\be
\phi(0)-\phi(d)=+Ed
\ee
このおおきさが$V$。

\be
V=Ed=\frac{\sigma d}{\epsilon_0}=\frac{\sigma Sd}{\epsilon_0 S}=
\frac{Q d}{\epsilon_0 S}
\ee
ここで$Q=\sigma S$を用いた。

したがって,平行板コンデンサの静電容量は
\be
C=\frac{\epsilon_0 S}{d}
\ee

\bigskip

\noindent
別解:

おのおのの板について考える。

\be
\epsilon_0 2\times\frac{1}{2}ES=\sigma S
\ee

\subsubsection{その他の演習問題}

同心球(球面)

円筒

同軸円筒(円柱)


\subsection{電気双極子}

2つの電荷$+q$と$-q$が固定された間隔$d$をおいて
「つながっている」ものを考える。

特に,$d$が「非常に小さい」とき,これを電気双極子と呼ぼう。
\footnote{何に比べて「非常に小さい」のか?
ここでは電場を計る場所からの距離に比べて,というところ。}

\smallskip


   電気双極子の「重心」を原点,向きは$z$-軸向きとする。

   (電気双極子の向き:$-q$から$+q$の方向。)

動径を$r$とするとき,$d/r<<1$とする。

(間隔$d$に比べて十分遠い領域での電場を考える。)

\bigskip

静電ポテンシャル

\be
\phi=q\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-\frac{d}{2}\right)^2}}-
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z+\frac{d}{2}\right)^2}}\right]
\ee

これのgradientから

\be
E_x=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{
\frac{x}{\left[x^2+y^2+\left(z-\frac{d}{2}\right)^2\right]^{3/2}}-
\frac{x}{\left[x^2+y^2+\left(z+\frac{d}{2}\right)^2\right]^{3/2}}\right\}
\ee

\be
E_y=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{
\frac{y}{\left[x^2+y^2+\left(z-\frac{d}{2}\right)^2\right]^{3/2}}-
\frac{y}{\left[x^2+y^2+\left(z+\frac{d}{2}\right)^2\right]^{3/2}}\right\}
\ee

\be
E_z=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{
\frac{z-\frac{d}{2}}{\left[x^2+y^2+\left(z-\frac{d}{2}\right)^2\right]^{3/2}}-
\frac{z+\frac{d}{2}}{\left[x^2+y^2+\left(z+\frac{d}{2}\right)^2\right]^{3/2}}
\right\}
\ee

を得る。

\begin{quote}
ex. これらをcheckせよ。
\end{quote}

ここまでは,近似はない。

\bigskip

$d/r<<1$より,近似的な関係$(1+t)^d\approx 1+d\cdot t$を用いて

\bea
\frac{1}{\left[x^2+y^2+\left(z\mp\frac{d}{2}\right)^2\right]^{3/2}}
&\approx&
\frac{1}{\left(x^2+y^2+z^2\mp zd\right)^{3/2}} \nn
&=&
\frac{1}{r^3}\frac{1}{\left(1\mp\frac{zd}{r^2}\right)^{3/2}} \nn
&\approx&
\frac{1}{r^3}\left(1\pm\frac{3zd}{2r^2}\right)
\eea
ここで,$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。

\smallskip

$p=qd$とおいてやると
\bea
E_x&=&\frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{3xz}{r^5} \\
E_y&=&\frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{3yz}{r^5} \\
E_z&=&\frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{3z^2-r^2}{r^5}
\eea

$p=qd$を電気双極子の大きさという。

\bigskip

\noindent
*はじめから$d/r<<1$としてみる。

$d/r<<1$のとき

\be
\phi\approx\frac{qd}{4\pi\epsilon_0}
\frac{z}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3}=
\frac{p}{4\pi\epsilon_0}
\frac{z}{r^3}
\ee

静電場は
\be
\vE=-\vnabla\phi
\ee
をもちいて計算する。(計算せよ!)


\bigskip

\noindent
*ベクトル的に計算

   $\vp\equiv q\vd$ $\vd$は大きさ$d$,向きは電気双極子の向き

\smallskip

静電ポテンシャル

\be
\phi(\vr)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(
\frac{1}{\left|\vr-\frac{\vd}{2}\right|}-
\frac{1}{\left|\vr+\frac{\vd}{2}\right|}\right)
\ee

$d/r<<1$のとき
\be
\phi(\vr)\approx\frac{q}{4\pi\epsilon_0}
\frac{1}{r^3}\vr\cdot\vd=
\frac{\vp\cdot\vr}{4\pi\epsilon_0 r^3}
\ee

(ここでの近似:
$$\frac{1}{\left|\vr-\frac{\vd}{2}\right|}\approx
\frac{1}{\sqrt{r^2-\vr\cdot\vd}}\approx
\frac{1}{r}\left(1+\frac{\vr\cdot\vd}{2r^2}\right)$$

をつかう。)

\smallskip

静電場 $\vE=-\vnabla\phi$

\be
\vnabla\frac{1}{r^3}=-\frac{3}{r^4}\vnabla r=-\frac{3\vr}{r^5}
\ee

一方
\be
\vnabla(\vp\cdot\vr)=\vp
\ee
(今,$\vp$は定ベクトル)
\footnote{
$\frac{\partial}{\partial x}(p_x x+p_y y+p_z z)=p_x$}

\smallskip

したがって
\bea
\vE&=&-\vnabla\phi=-\vnabla\frac{\vp\cdot\vr}{4\pi\epsilon_0 r^3} \nn
&=&
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{3}{r^4}\frac{\vr}{r}
(\vp\cdot\vr)-\frac{\vp}{r^3}\right] \nn
&=&
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3}\left[3\frac{\vr}{r}
\left(\vp\cdot\frac{\vr}{r}\right)-\vp\right]
\eea

($\vp$が$z$方向のとき,前の結果とあってるかな?チェック!)


\bigskip

\noindent
*直接ベクトル的に電場を求める

\be
\vE=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[
\frac{\vr-\frac{\vd}{2}}{\left|\vr-\frac{\vd}{2}\right|^3}-
\frac{\vr+\frac{\vd}{2}}{\left|\vr+\frac{\vd}{2}\right|^3}\right]
\ee

これを$d/r<<1$のときに評価せよ。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{定常電流と静磁場}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

まず,お断りするのは,用語について。
私は$\vB$のことを(たいていは)「磁場」と呼びます。
そして,ほとんど出てきませんが,$\vH$を「磁界」と呼びます。
しかし,場合によって(わかりやすい場合),
$\vB$を「磁束密度」と(正しく!)呼びます。


\subsection{定常電流のつくる磁場}

磁場については,特に地球のつくる磁場も含めて,昔からよく知られている。
(方位磁石)

エールステッドは,電流が磁場をつくることを明らかにした。

直線電流が磁場をつくる。

\be
B=|\vB|=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}
\ee
$r$は直線電流からの距離。磁場の向きに注意。

$\mu_0$:真空の透磁率$(4\pi\times10^{-7}\em{N/m})$

これは,アンペールの法則。

アンペールは2つの平行な直線電流間に働く力から求めた。

\begin{quote}
磁場中の直線電流が受ける力
\be
F=BI\ell
\ee
(単位長さあたりの大きさは$BI$)

\be
\vF=(\vI\times\vB)\ell
\ee

これはローレンツ力(後出!)からきている。
\be
\vF=e (\vE+\vv\times\vB)
\ee

電流密度 $\vj=ne\vv$

$ne$は電荷密度。

$\vI=\vj S=ne\vv S$

$S$は断面積。

したがって,$nS\ell$個の「粒子」に働く力の「合力」として,
理解される。
\end{quote}

アンペールの法則はまたあとで。

\bigskip

\noindent
・電流の流れる「回路」が直線ではない場合

ビオ-サバールの法則 (Bio-Savart's Law)

\be
d\vB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vr'}{|\vr-\vr'|^2}
\underbrace{\times}_{外積}
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|}
\ee

微小な電流素片がつくる,微小な磁場の寄与。

(クーロンの法則と似ているようで似てない。)


\subsection{Bio-Savartの法則}

\be
d\vB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vr'}{|\vr-\vr'|^2}
\times
\frac{\vr-\vr'}{|\vr-\vr'|}
\ee

$\vr'$は電流の線上を動く。

\smallskip

\begin{quote}
\noindent
適用例:

半径$R$の円電流が,中心の位置につくる磁場の大きさ
(向きは手前から奥へ)

\be
dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR d\theta}{R^2}
\ee

\be
B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{R}\int_{0}^{2\pi}d\theta=
\frac{\mu_0 I}{2R}
\ee

(高校で習った?昔はやったんだけどなー)
\end{quote}

\subsection{Bio-SavartからAmp\`ereへ}

直線電流の場合

\bea
dB&=&\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\ell}{R^2}\sin\theta \nn
&=&\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\ell}{R^2}\frac{a}{R} \nn
&=&\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\ell}{\ell^2+a^2}
\frac{a}{\sqrt{\ell^2+a^2}} 
\eea
したがって
\be
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{a}{\left(\ell^2+a^2\right)^{3/2}}d\ell
\ee

$\ell=a\tan\theta$とおくと($d\ell=a\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$)
積分は

\be
J\equiv\int_{0}^{\infty}\frac{d\ell}{\left(\ell^2+a^2\right)^{3/2}}=
\int_{0}^{\pi/2}
\frac{a\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta}{a^3\left(1+\tan^2\theta\right)^{3/2}}
\ee

$1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$なので

\be
J=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta d\theta=
\frac{1}{a^2}\left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2}=
\frac{1}{a^2}
\ee

これをつかって
\be
|\vB|=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{2}{a^2}a=
\frac{\mu_0 I}{2\pi a}
\ee

これが,直線電流$I$から距離$a$離れた点での磁場の強さ(大きさ)。

(エールステッド,アンペールと一致)

\bigskip

\be
\vB(\vr)=\frac{\mu_0}{4\pi}
\underbrace{\oint_{C'}}_{線積分}
I\frac{d\vr'\times\vR}{R^3}
\ee

$$\vR=\vr-\vr'$$

つぎのものを考える。・・・$\oint_C \vB\cdot d\vr$

\bea
\oint_C \vB\cdot d\vr&=&\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C'}\oint_{C}I
\frac{(d\vr'\times\vR)\cdot d\vr}{R^3} \nn
&=&\frac{\mu_0}{4\pi}
\underbrace{\oint_{C'}\oint_{C}}_{ドーナツの表面積分}
I\frac{(d\vr\times d\vr')\cdot \vR}{R^3} 
\eea

$d\vr\times d\vr'=-d\vsigma$はドーナツ面上の面積要素。

$P$(位置$\vr$の点)を固定して考えると
$\vR'\equiv-\vR$はドーナツ上の表面を動く。
\footnote{ほんとにドーナツか?$P$が内部にあるときはOK。
$P$が外部の時には,面が交差したりするはずであるが,
計算に(数学的に)問題はない。}

\be
\oint_C \vB\cdot d\vr=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{S}I
\frac{d\vsigma\cdot\vR'}{{R'}^3}
\ee

\smallskip

・点$P$がドーナツの外側
\be
\int_{S}
\frac{d\vsigma\cdot\vR'}{{R'}^3}=0
\ee

・点$P$がドーナツの内側
\be
\int_{S}
\frac{d\vsigma\cdot\vR'}{{R'}^3}=4\pi
\ee
(ガウスの定理)
このとき$C'$と$C$の関係は,図からわかるように,
互いに貫通した位置である。

\smallskip

$\oint_C \vB\cdot d\vr=0$  $C$を電流が貫いていない。

$\oint_C \vB\cdot d\vr=\mu_0 I$  $C$を電流$I$が貫いている。

\bigskip

これが
Amp\`ere
の法則。

\bigskip

\begin{quote}
(積分形の)Amp\`ere の法則

静磁場において,磁場$\vB(\vr)$の閉曲線$C$上の線積分は,
$C$に囲まれた領域を流れる電流$I$と$\mu_0$の積になる。

\be
\oint_C \vB\cdot d\vr=\mu_0 I
\ee
\end{quote}


\subsection{Amp\`ereの法則}

アンペールの法則

$\oint_C \vB\cdot d\vr=0$  $C$を電流が貫いていない。

$\oint_C \vB\cdot d\vr=\mu_0 I$  $C$を電流$I$が貫いている。

\smallskip

\begin{quote}
\noindent
例: 直線電流

$C$として,半径$a$の円周
(中心を電流$I$がとおり,$C$を縁とする円板は
直線電流と垂直)

対称性から,$C$の上では磁場の強さ(大きさ)は一定。

\be
\oint_C \vB\cdot d\vr=B 2\pi a
\ee

アンペールの法則によれば,これが$\mu_0 I$と等しい。
したがって
\be
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}
\ee

(ビオ-サバールの法則から求めたものと一致)
\end{quote}

\subsection{Amp\`ereの法則とStokesの定理}

Amp\`ereの法則の微分形を求めよう。

\subsubsection{定常電流密度}

$\oint_C \vB\cdot d\vr=\mu_0 I$  ($C$を貫く電流$I$)

$\oint_C \vB\cdot d\vr=\mu_0 \sum_i I_i$  ($C$を貫く電流の和)

   ($\vB=\sum_i\vB_i$であるから。)

\smallskip

電流密度$\vj$(単位(通過)断面積あたり)
の積分でかく
\be
\sum_i I_i\rightarrow\int_S \vj\cdot d\vsigma
\ee

($C$を縁とする限り)$S$は任意$\rightarrow$

電流密度に対する制限を与える式
\be
\vnabla\cdot\vj=0
\ee

$C$を縁とする2つの曲面$S$と$S'$

内部領域を$\bar{V}$

$\bar{V}$に電荷が存在することはない。(定常電流および静電磁場に
限っているので)
(もっといえば,電荷$\rightarrow$(変動する)電場)

\be
\int_{\bar{S}}\vj\cdot d\vsigma=0
\ee
\be
\Rightarrow \int_{S}\vj\cdot d\vsigma-\int_{S'}\vj\cdot d\vsigma=0
\ee
($S$と$S'$の面の向きに注意)

\be
\int_{S}\vj\cdot d\vsigma=\int_{S'}\vj\cdot d\vsigma
\ee

即ち,縁が同じ$C$ならば,どんな曲面でも$\int_{S}\vj\cdot d\vsigma$
は同じ値をとる。($S$のとり方に関係ない。)

\bigskip

\subsubsection{アンペールの法則の微分形}
($\vnabla\times\vB=\mu_0 \vj$)

\be
\oint_C \vB\cdot d\vr=\mu_0
\underbrace{I}_{Cを貫く電流}
\ee

$S$を$C$を境界とする面とする。

まず,$x$-$y$平面上で微小面積要素について考える。

微小面積要素について
$\oint_{C'} \vB\cdot d\vr$を考えると,これは

\bea
& &B_x(x,y)\Delta x+B_y(x+\Delta x,y)\Delta y \nn
&-&
B_x(x+\Delta x,y+\Delta y)\Delta x-B_y(x,y)\Delta y \nn
&\approx&
\left(\frac{\partial B_y}{\partial x}-
\frac{\partial B_x}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y \nn
&=&\left(\vnabla\times\vB\right)_z \Delta x\Delta y
\eea

他の方向も同様。

一般の$S$をこのような微小面積の集まりと考える。

個々の微小面積からの寄与の全体は,境界$C$上の線積分を与える。
(つなぎ合わせた小さな境界の寄与は打ち消しあうので。)

\be
\oint_C \vB\cdot d\vr=\sum_{C'}\oint_{C'}\vB\cdot d\vr
\ee

微小面積を無限小にもっていったとき,その寄与の全体は
\be
\int_S\left(\vnabla\times\vB\right)\cdot d\vsigma
\ee

結局
\be
\oint_{C} \vB\cdot d\vr=
\int_S\left(\vnabla\times\vB\right)\cdot d\vsigma
\ee
(ストークスの定理)
\footnote{$S$は何でも良いのか?それは$\vnabla\cdot\vnabla\times\vB\equiv 0$
から分かる。またこの恒等式は,微小面積により微小直方体をつくってみることで
直観的に理解できる。}

\bigskip

ex. ストークスの法則を用い,静電場中で試験電荷の受ける仕事は,始点終点を固定したとき
途中の道筋によらないことを示せ。

\bigskip

アンペールの法則は
\be
\oint_{C} \vB\cdot d\vr=\mu_0 I=
\mu_0 \int_S \vj\cdot d\vsigma
\ee

ストークスの定理より,同一$S$上で
\be
\int_S \left(\vnabla\times\vB-\mu_0\vj\right)\cdot d\vsigma=0
\ee

さらに$S$は任意なので
\be
\vnabla\times\vB=\mu_0\vj
\ee
これは全空間で成り立つ。
($S$にも$C$にも独立)

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
アンペールの法則の微分形 \\
$\vnabla\times\vB=\mu_0\vj$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{電磁誘導}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent
*磁場が\underline{時間的に変化する場合}
を考える。

\bigskip

\noindent
・回路を通る磁束が時間的に変化するとき,
回路にその磁束の時間変化率に比例した(大きさの)
誘導起電力が生じる。

「Faraday の(電磁誘導の)法則」

\smallskip

\noindent
・磁束が変化するとき,その変化を妨げる方向に
電流を流そうとする起電力が回路に現れる。

「Lenz の法則」


\subsection{磁束}

回路$C$を通る磁束は
\be
\Phi=\int_S \vB\cdot d\vsigma
\ee
$S$は$C$を境界とする面。

$S$は任意。(境界$C$は固定)

なぜならば

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\vnabla\cdot\vB=0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
(磁場に対するガウスの法則)

これは“磁荷”が存在しないことを表す。

(cf. $\vnabla\cdot\vE=\rho/\epsilon_0$)


\subsection{誘導起電力とFaradayの法則}

誘導起電力を$V$とすると

\be
V=-\frac{d\Phi}{dt}
\ee
($\Phi$:回路を通る磁束)

負号がLenzの法則を表している。(暗示?)

回路中に誘導電場が生じる($\rightarrow$回路中の電子が力を受ける)
\footnote{静電場とは明らかに性質が違う。でもおなじ$\vE$と
みてしまうことが重要な「飛躍」!}

\be
V=\oint_C \vE\cdot d\vr
\ee

\smallskip

$V=-\frac{d\Phi}{dt}$の式に
$V=\oint_C \vE\cdot d\vr$,
$\Phi=\int_S \vB\cdot d\vsigma$を代入。

さらにストークスの定理
\be
\int_S \left(\vnabla\times\vE\right)\cdot d\vsigma=
\oint_C \vE\cdot d\vr
\ee
をつかうと
\be
\int_S \left(\vnabla\times\vE\right)\cdot d\vsigma=
-\frac{d}{dt}\int_S \vB\cdot d\vsigma=
-\int_S \frac{\partial\vB}{\partial t}\cdot d\vsigma
\ee

同じ$S$で
\be
\int_S \left(\vnabla\times\vE+
\frac{\partial\vB}{\partial t}\right)\cdot d\vsigma=0
\ee

$S$はなんでもいいので

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\vnabla\times\vE+
\frac{\partial\vB}{\partial t}=0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
これが,ファラディの法則の微分形。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{マクスウェル方程式}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent
ここまでの微分形の法則のまとめ

\bea
\vnabla\cdot\vE&=&\frac{\rho}{\epsilon_0}
~~~~~ガウスの法則 \\
\vnabla\cdot\vB&=&0
~~~~~~磁場に対するガウスの法則 \\
\vnabla\times\vB&=&\mu_0 \vj
~~~~~アンペールの法則 \\
\vnabla\times\vE&=&-\frac{\partial\vB}{\partial t}
~~~~~ファラディの法則
\eea

これで完成か?いいえ。

\bigskip

次の恒等式を考える。
\be
\vnabla\cdot\left(\vnabla\times\vB\right)=0
\ee

これにより
\be
0=\vnabla\cdot\left(\vnabla\times\vB\right)=\mu_0 \vnabla\cdot\vj
\ee

時間に依存しないときはOK

時間に依存する場合に拡張する。

\smallskip

\be
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vnabla\cdot\vj=0
\ee
となるであろう。(以下説明する。)

これは\underline{保存の式}または\underline{連続の式}
とよばれる,物理において極めて普遍的な式である。

\smallskip

\noindent
・この式の意味

$V$内部の電荷は
\be
Q=\int_V \rho(\vr,t) d^3\vr
\ee

保存の式から
\be
\int_V \frac{\partial\rho}{\partial t}d^3\vr=
-\int_V \vnabla\cdot\vj d^3\vr
\ee

右辺にガウスの定理を用いて
\be
\frac{dQ}{dt}=
-\int_S \vj\cdot d\vsigma
\ee

これは,$S$をとおって電流が出ていくぶん,
$V$の電荷が減っていくことを表している。

\smallskip

もう一度繰り返すが,これまでの
アンペールの法則では,定常電流の場合にOK
\be
0=\vnabla\cdot\left(\vnabla\times\vB\right)=\mu_0 \vnabla\cdot\vj
\ee

定常でない場合(どこかに電荷がたまる!)

平行板コンデンサ

板の間を通る$S$をとると,
アンペールの法則の積分形から,
前のような微分形は出てこない!

これはもとより,$\vnabla\cdot\vj=0$から$S$は任意としたので,
時間依存性を含めた,保存の式を使うとしなければならない。
(実際,板に電荷がたまっていく・・・時間的変化)

すなわち,
$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vnabla\cdot\vj=0$
と適合するように
アンペールの法則の微分形を改善する。

\bigskip

ガウスの法則
\be
\vnabla\cdot\vE=\frac{\rho}{\epsilon_0}
\ee
から
\be
\frac{1}{\epsilon_0}\frac{\partial\rho}{\partial t}=
\frac{\partial}{\partial t}\vnabla\cdot\vE=
\vnabla\cdot\frac{\partial\vE}{\partial t}
\ee
なので
保存の式の形がでるために$\frac{\partial\vE}{\partial t}$
の項が法則に必要。

アンペールの法則の微分形を次のように仮定してみる。
\be
\vnabla\times\vB=\mu_0 \vj+\alpha\frac{\partial\vE}{\partial t}
\ee
($\alpha$は定数。)(線形性から)

この発散(divergence)をとると
\bea
\vnabla\cdot\left(\vnabla\times\vB\right)&=&
\mu_0 \vnabla\cdot\vj+\alpha\vnabla\cdot
\frac{\partial\vE}{\partial t} \nn
&=&
\mu_0 \vnabla\cdot\vj+\alpha\frac{1}{\epsilon_0}
\frac{\partial\rho}{\partial t} \nn
&=&
\mu_0 \left(\vnabla\cdot\vj+\frac{\alpha}{\mu_0\epsilon_0}
\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)=0
\eea

したがって,保存の式と両立するためには,
$\alpha=\mu_0\epsilon_0$とすればよい。

\be
\vnabla\times\vB=\mu_0 \vj+\mu_0\epsilon_0
\frac{\partial\vE}{\partial t}
\ee
これはいうなれば,Amp\`ere+Maxwellの法則。

\smallskip

ここで
$\epsilon_0\frac{\partial\vE}{\partial t}$は
「変位電流(密度)」とよばれることもある。
(電荷移動はなくても,$\vE$は時間変化をしている)

\be
\mu_0\epsilon_0=\frac{1}{c^2}
\ee
$c$:真空中の光速(〜$3\times 10^8 \em{m/s}$)

\bigskip

\noindent
まとめ:

Maxwell の方程式といえば,次の4つの組をさす。

\be
\left\{
\begin{array}{ll}
\vnabla\cdot\vE=\frac{\rho}{\epsilon_0} & (電場に対する\mbox{Gauss}の法則)\\
\vnabla\cdot\vB=0 & (磁場に対する\mbox{Gauss}の法則)\\
\vnabla\times\vB=\mu_0\vj+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vE}{\partial t}
 & (\mbox{Amp\`ere}の法則)\\
\vnabla\times\vE=-\frac{\partial\vB}{\partial t}
 & (\mbox{Faraday}の(電磁誘導の)法則)
\end{array}
\right.
\ee


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{マクスウェル方程式とゲージ・ポテンシャル}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Maxwell の方程式

\be
\begin{array}{ll}
\vnabla\cdot\vE=\frac{\rho}{\epsilon_0} & (電場に対する\mbox{Gauss}の法則)\\
\vnabla\cdot\vB=0 & (磁場に対する\mbox{Gauss}の法則)\\
\vnabla\times\vB=\mu_0\vj+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vE}{\partial t}
 & (\mbox{Amp\`ere}の法則)\\
\vnabla\times\vE=-\frac{\partial\vB}{\partial t}
 & (\mbox{Faraday}の(電磁誘導の)法則)
\end{array}
\ee

\bigskip

\subsection{ベクトルおよびスカラーポテンシャル}

\noindent
・電場および磁場を導く“ポテンシャル”を考えよう。

(cf. 静電場の場合 $\vE=-\vnabla\phi$)

\bigskip

まず,磁場をポテンシャルで表す。

出発点は
\be
\vnabla\cdot\vB=0
\ee

一方,
\be
\vnabla\cdot\left(\vnabla\times\vA\right)\equiv 0
\ee
(恒等式)なので,
\be
\vB=\vnabla\times\vA
\ee
と表すことができそうである。

$\vA$を「ベクトルポテンシャル」と呼ぶ。

\bigskip

次に考えるのは
\be
\vnabla\times\vE=-\frac{\partial\vB}{\partial t}
\ee

これに$\vB=\vnabla\times\vA$を代入すれば
\be
\vnabla\times\vE=-\frac{\partial}{\partial t}\vnabla\times\vA=
-\vnabla\times\frac{\partial\vA}{\partial t}
\ee
すなわち
\be
\vnabla\times\left(\vE+\frac{\partial\vA}{\partial t}\right)=0
\ee

一方
\be
-\vnabla\times\vnabla\phi=0
\ee
(恒等式)なので,
\be
\vE+\frac{\partial\vA}{\partial t}=-\vnabla\phi
\ee
と書けるだろう。

即ち
\be
\vE=-\vnabla\phi-\frac{\partial\vA}{\partial t}
\ee

$\phi$を「スカラーポテンシャル」と呼ぶ。

(静電場の場合,$\phi$は電位,あるいは静電ポテンシャルに一致。)

\bigskip

ここまでで,Maxwell方程式の内2つが,
ポテンシャルの採用により自動的に満たされることになっている。
(It's Automatic!)

残り二つは,「源」を含んだ,「力学的」方程式である。

\bigskip

では,
\be
\vnabla\cdot\vE=\frac{\rho}{\epsilon_0}
\ee
をポテンシャルで表すと
\be
\vnabla\cdot\left(-\vnabla\phi-\frac{\partial\vA}{\partial t}
\right)=\frac{\rho}{\epsilon_0}
\ee
すなわち
\be
-\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\vnabla\cdot\vA
=\frac{\rho}{\epsilon_0}
\label{eq:phieq}
\ee
\footnote{直交座標系で
$$\vnabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}\right)$$
であるから
$$\nabla^2=\vnabla\cdot\vnabla=\left(
\frac{\partial^2}{\partial x^2},
\frac{\partial^2}{\partial y^2},
\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)$$}


今はここで止めておく。

\bigskip

最後に
\be
\vnabla\times\vB=\mu_0\vj+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial\vE}{\partial t}
\ee
に$\vB=\vnabla\times\vA$と
$\vE=-\vnabla\phi-\frac{\partial\vA}{\partial t}$
を代入。

\be
\vnabla\times\left(\vnabla\times\vA\right)=\mu_0\vj+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial}{\partial t}\left(
-\vnabla\phi-\frac{\partial\vA}{\partial t}\right)
\ee

ここで
\be
\vnabla\times\left(\vnabla\times\vA\right)\equiv
\vnabla\left(\vnabla\cdot\vA\right)-
\nabla^2\vA
\ee
(恒等式)をつかう。ただし,ここでは
直交座標系を考えている。

\be
\vnabla\left(\vnabla\cdot\vA\right)-\nabla^2\vA=
\mu_0\vj-\vnabla\frac{1}{c^2}
\frac{\partial\phi}{\partial t}-\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2\vA}{\partial t^2}
\ee
すなわち
\be
-\nabla^2\vA+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2\vA}{\partial t^2}+
\vnabla\left(\vnabla\cdot\vA+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)=
\mu_0\vj
\label{eq:Aeq}
\ee

\smallskip

前出の(\ref{eq:phieq})は書き直すと
\be
-\nabla^2\phi+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial}{\partial t}
\left(\vnabla\cdot\vA+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)
=\frac{\rho}{\epsilon_0}
\label{eq:phieq2}
\ee

\smallskip

$\vnabla\cdot\vA+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial\phi}{\partial t}\equiv 0$
となるならば
(このことについては,後出)
(\ref{eq:Aeq})(\ref{eq:phieq2})は次のように簡単な形に書ける。

\bea
-\nabla^2\vA+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2\vA}{\partial t^2}&=&
\mu_0\vj \\
-\nabla^2\phi+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}
&=&\frac{\rho}{\epsilon_0}
\eea

\subsection{ゲージ変換}

ポテンシャルに含まれる自由度を考察する。

$\vE$,$\vB$が決まっていても,
それを導く$\phi$,$\vA$は一通りとは限らない。

\smallskip

\be
\vA\rightarrow \vA'=\vA+\vnabla\lambda
\label{eq:Atrans}
\ee
という置き換え(変換)をしてみる。
ここで$\lambda$は座標の任意関数。

このとき
\be
\vB\rightarrow \vB'=\vnabla\times\vA'
\ee
となるが
\bea
\vB\rightarrow \vB'&=&
\vnabla\times\left(\vA+\vnabla\lambda\right) \nn
&=&
\vnabla\times\vA+
\underbrace{\vnabla\times\vnabla\lambda}_{\equiv 0} \nn
&=&
\vnabla\times\vA=\vB
\eea
ゆえに$\vB$は(\ref{eq:Atrans})の変換で不変である。

\smallskip

同様に$\phi\rightarrow\phi'$と変換するとする。

電場はこのとき
\bea
\vE\rightarrow\vE'&=&
-\vnabla\phi'-\frac{\partial\vA'}{\partial t} \nn
&=&
-\vnabla\phi'-\frac{\partial}{\partial t}
\left(\vA+\vnabla\lambda\right) \nn
&=&
-\vnabla\phi'-\frac{\partial\vA}{\partial t}
-\vnabla\frac{\partial\lambda}{\partial t} \nn
&=&
-\vnabla\left(\phi'+\frac{\partial\lambda}{\partial t}\right)
-\frac{\partial\vA}{\partial t}
\eea

したがって
\be
\phi\rightarrow\phi'=\phi-\frac{\partial\lambda}{\partial t}
\ee
とすれば$\vE$も不変。

\bigskip

まとめると
変換
\bea
\vA\rightarrow \vA'&=&\vA+\vnabla\lambda \\
\phi\rightarrow\phi'&=&\phi-\frac{\partial\lambda}{\partial t}
\eea
のもとで$\vE$,$\vB$は不変。

この変換を\underline{ゲージ変換}
という。

\smallskip

ポテンシャル$\vA$,$\phi$をゲージ変換しても
$\vE$,$\vB$は変化しない。

\subsection{ポテンシャルの運動方程式}

ゲージ変換の自由度($\lambda$をかってに
選べる自由度)を使えば,
\be
\vnabla\cdot\vA+
\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\equiv 0
\ee
となるような$\vA$,$\phi$を採用する事ができる。
これを「ローレンス(Lorenz)条件」と呼ぶ。

もちろんこのとき電場,磁場に影響はない。

\bea
-\nabla^2\vA+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2\vA}{\partial t^2}&=&
\mu_0\vj \\
-\nabla^2\phi+\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}
&=&\frac{\rho}{\epsilon_0}
\eea
これらの式は,のちに
電磁波の放出を考えるときにつかう。

\bigskip

なお,
\be
\vnabla\cdot\vA\equiv 0
\ee
と選ぶことも可能。このときは
\be
-\nabla^2\phi=\frac{\rho}{\epsilon_0}
\ee
となる。
$\vA$に対する式は一般に複雑になるが,
電場が時間的に変化しない条件の下では,
\be
-\nabla^2\vA=\mu_0\vj
\ee
と簡単になる。

\bigskip

\be
\vnabla\cdot\vA+
\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\equiv 0
\ee
を満たすポテンシャルを選ぶことを
「Lorenz gaugeをとる」という。

\be
\vnabla\cdot\vA\equiv 0
\ee
を満たすポテンシャルを選ぶことを
「Coulomb gaugeをとる」という。



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{電磁場内の荷電粒子の運動}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

質量$m$,電荷$q$の点電荷を考える。

この点電荷は,外場(与えられた電磁場)から力をうけるが,
みずからが電場磁場に変化をもたらさないと仮定する。

このような粒子を試験粒子という。

\bigskip

・電磁場のない場合

粒子の運動を記述する作用(action) は
\be
I=\int\left[\frac{1}{2}m\dot{\vz}^2\right]dt
\ee

ここで$\vz(t)$は粒子の位置(軌跡)を表す。(位置ベクトル)

$\dot{\vz}=\frac{d\vz}{dt}$ 粒子の速度ベクトル

\smallskip

\noindent
\underline{変分原理}

粒子は$I$の値が極値(極小or極大)となるような軌跡を描く。

(ただし,始点終点を固定)

\smallskip

\be
\vz\rightarrow\vz+
\underbrace{\delta\vz}_{微小}
\ee
のようにずらしてみる。
\footnote{物理で困ったらなんでも微小うごかす。}

このとき
\be
I\rightarrow I+\delta I
\ee

\smallskip

\be
I=\int L(\vz,\dot{\vz}) dt
\ee
とする。
$L$はラグランジアン。

\be
\delta I=\int\left[\frac{\partial L}{\partial\vz}\delta\vz+
\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}\delta\dot{\vz}\right]dt
\ee

$\delta\dot{\vz}=\frac{d}{dt}\delta\vz$より

\be
\delta I=\int\left[\frac{\partial L}{\partial\vz}\delta\vz+
\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}\frac{d}{dt}\delta\vz\right]dt
\ee

始点を$A$,終点を$B$とする。

\be
\delta I=\int_A^B\left[\frac{\partial L}{\partial\vz}\delta\vz-
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}\right)
\delta\vz\right]dt+
\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}\delta\vz\right]_A^B
\ee

$A$,$B$で固定すなわち$\delta\vz=0$だから,
右辺第2項は$0$。
ゆえに
\be
\delta I=\int_A^B\left[\frac{\partial L}{\partial\vz}-
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}\right)
\right]\delta\vz dt
\ee

$I$が極値をとるときは,$\delta\vz$によらず$\delta I=0$である。

したがって
\be
\frac{\partial L}{\partial\vz}-
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}\right)=0
\ee
が要求される。

\smallskip

まとめると,変分原理により$\vz(t)$は次の式を満たすことがわかる。

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
Euler-Lagrange方程式 \\
$\frac{\partial L}{\partial\vz}-
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}\right)=0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\noindent
・自由粒子の場合
\be
L=\frac{1}{2}m\dot{\vz}^2
\ee

このときE-L eq.は次のようになる。
\be
0-\frac{d}{dt}m\dot{\vz}=0\Rightarrow m\ddot{\vz}=0
\ee

\bigskip

\noindent
・静電場中の荷電粒子の場合
\be
L=\frac{1}{2}m\dot{\vz}^2-q\phi(\vz)
\ee
E-L eq.より
\bea
m\ddot{\vz}&=&-q\frac{\partial\phi}{\partial\vz}=-q\vnabla\phi \nn
&=&q\underbrace{\vE}_{静電場}=\underbrace{\vF}_{粒子が電場からうける力}
\eea

\bigskip

\noindent
・一般の電磁場内の荷電粒子の場合

最終的な運動方程式は$\vE$,$\vB$を含む形であって,
ゲージ変換を施しても不変。

もとになる$I$も,なんらかの意味で,
ゲージ変換に対して不変であろう。

\bigskip

ここでは天下り式に次のラクランジアンを採用する。
\be
L=\frac{1}{2}m\dot{\vz}^2-q\phi+q\vA\cdot\dot{\vz}
\ee
(最後の項:$\vA$はベクトル,線形とすればこの形しかない。)

ゲージ変換
\bea
\phi\rightarrow\phi'&=&\phi-\frac{\partial\lambda}{\partial t} \\
\vA\rightarrow\vA'&=&\vA+\vnabla\lambda
\eea
により
\bea
L\rightarrow L'&=&
\frac{1}{2}m\dot{\vz}^2-q\phi'+q\vA'\cdot\dot{\vz} \nn
&=&L+q\left[\frac{\partial\lambda}{\partial t}+
\underbrace{\frac{d\vz}{dt}\frac{\partial\lambda}{\partial\vz}}_%
{\sum_{i=1}^{3}\frac{d z^i}{dt}\frac{\partial\lambda}{\partial z^i}}\right]
\eea
ゆえに
\be
L'=L+q
\underbrace{\frac{d\lambda}{dt}}_{時間による全微分}
\ee
したがって
\bea
I\rightarrow I'&=&\int L' dt=\int L dt+q\int \frac{d\lambda}{dt} dt \nn
&=&I+q\left[\lambda\right]_A^B
\eea

$I$はせいぜい定数しか変わらない。よって,このラグランジアンでは
E-L eq.はゲージ変換で不変となる。

$I$の変化分は固定した始点$A$と終点$B$での値のみによるので,
変分を考える際に関係してこない。

\bigskip

ではラグランジアン
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$L=\frac{1}{2}m\dot{\vz}^2-q\phi+q\vA\cdot\dot{\vz}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
から導かれるオイラー-ラグランジュ方程式を
具体的に計算してみよう。

\smallskip

\be
\frac{\partial L}{\partial\vz}-\frac{d}{dt}
\frac{\partial L}{\partial\dot{\vz}}=0
\ee

\smallskip

成分ごとに考える。

\bea
\frac{\partial L}{\partial x}&=&-q\frac{\partial\phi}{\partial x}+q
\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+
\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+
\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z}\right) \nn
&=&-q\frac{\partial\phi}{\partial x}+q
\left(\frac{dx}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial x}+
\frac{dy}{dt}\frac{\partial A_y}{\partial x}+
\frac{dz}{dt}\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)
\eea

\be
\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}+q A_x
\ee
\footnote{$A_x$はもちろん$A_x(t,\vz(t))$のこと。}

\smallskip

\be
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\ddot{x}+q
\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}+
\frac{dx}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial x}+
\frac{dy}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial y}+
\frac{dz}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)
\ee

したがってE-L eq.は
\bea
&-&q\frac{\partial\phi}{\partial x}+q
\left(\frac{dx}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial x}+
\frac{dy}{dt}\frac{\partial A_y}{\partial x}+
\frac{dz}{dt}\frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \nn
&-&m\ddot{x}-q
\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}+
\frac{dx}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial x}+
\frac{dy}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial y}+
\frac{dz}{dt}\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)=0
\eea

\bea
m\ddot{x}&=&-q\frac{\partial\phi}{\partial x}-
q\frac{\partial A_x}{\partial t} \nn
&+&q\left[\frac{dy}{dt}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-
\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)-
\frac{dz}{dt}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-
\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\right] \nn
&=&q E_x+q\left(v_yB_z-v_zB_y\right) \nn
&=&q\left[\vE+\vv\times\vB\right]_x
\eea

\bigskip

\be
\vF=m\ddot{\vz}=q\left[\vE+\vv\times\vB\right]
\ee
これは一般のローレンツ力を表す。

狭い意味では,磁場から受ける力をいう。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{期末例題集}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{静電場の例題}

電荷密度分布$\Rightarrow\vE$

\subsubsection{例1} 

一様に帯電した球

$\rho$=一定・・・前にやった


\subsubsection{例2} 

2つの一様に帯電した球

電荷密度$\rho$=一定の球1と電荷密度$-\rho$=一定の球2

交わった部分が空洞だとする。そこでの電場は?

原点を球1の中心においたとき,球2の中心は$\va$にあるとする。

\smallskip

\noindent
\underline{答え}

球1と球2を重ね合わせたものと考えることができる。

球1のつくる,球1内部の電場は
\be
\vE_1=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\vr
\ee

球2のつくる,球2内部の電場は
\be
\vE_2=\frac{-\rho}{3\epsilon_0}(\vr-\va)
\ee

したがって,空洞中の電場は
\be
\vE=\vE_1+\vE_2=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\va
\ee
一定,一様な電場。

\bigskip

特殊な場合として,中心が一致する場合。

$\va=0\Rightarrow\vE=0$

ガウスの法則により,この空洞では$\vE=0$がすぐに導かれる。

\subsection{静磁場の例題}

一様電流$\Rightarrow\vB$

\subsubsection{例1} 

無限に長い円柱(半径$R$)

電流密度$\vj$=一定(単位断面積あたり)  (大きさ$j$)

このときの磁場は?

アンペールの法則
\be
\oint_C \vB\cdot d\vr=\mu_0 I
\ee
$I$は$C$を貫く電流。

$C$は半径$r$の同心円。

$C$上で$\vB$の大きさ$B$は(対称性から)一定。

\be
\oint_C \vB\cdot d\vr=B 2\pi r
\ee

$C$を貫く電流は
\bea
I&=&j \pi r^2~~~(rR)
\eea

アンペールの法則により

\bea
内部~~~rR~~~B&=&\frac{\mu_0 j R^2}{2r}
\eea

\subsubsection{例2} 

$z$方向に無限にのびている,2つの交わった平行円柱

電流密度$\vj$=一定の円柱1と電流密度$-\vj$=一定の円柱2

交わった部分が空洞だとする。そこでの磁場は?

ある円柱に垂直な断面上で考える。その平面上で
原点は円柱1の中心においたとき,円柱2の中心は$\va$にあるとする。

\smallskip

\noindent
\underline{答え}

円柱1と円柱2を重ね合わせたものと考えることができる。

円柱1のつくる,円柱1内部の磁場は
\be
\vB_1=\frac{\mu_0 j}{2}\hat{\vz}\times\vr
\ee
$\hat{\vz}$は$z$軸正方向の単位ベクトル。



円柱2のつくる,円柱2内部の磁場は
\be
\vB_2=-\frac{\mu_0 j}{2}\hat{\vz}\times(\vr-\va)
\ee

したがって,空洞中の磁場は
\be
\vB=\vB_1+\vB_2=\frac{\mu_0 j}{2}\hat{\vz}\times\va
\ee
一定,一様な磁場。

\bigskip

特殊な場合として,中心が一致する場合。同軸円柱

$\va=0\Rightarrow\vB=0$

アンペールの法則により,この空洞では$\vB=0$がすぐに導かれる。


\subsection{静電場と鏡像法}

非常に(無限に)大きい平面導体 接地する。

接地する$\Rightarrow$アース  電位=0

\smallskip

点電荷$q$を近くに置く。

\smallskip

$\vE$の方向をなめらかに結ぶ曲線(電気力線)
は図のようになるだろう。

\smallskip

導体表面で,導体平面に平行な電場の成分がもしあったとすると,
その電場によって導体表面の電荷の移動が起きてしまう!

したがって導体平面に平行な電場の成分$E_{平行}=0$
ただし導体平面上で。

\smallskip

図の右半分は,導体がないとしたとき,
導体平面に対しちょうど対称な位置に$-q$を
おいた場合と同じ。

\bigskip

\noindent
\underline{鏡像法}

図のように点電荷$q$が平面導体の近くに置かれている場合に生じる
静電場を求めるとき,
導体表面を鏡に見立てたときの点電荷$q$の像の位置に
$-q$の点電荷をおくとしてみる。

\smallskip

導体平面は$z=0$の$x$-$y$平面とする。

\smallskip

$q$の位置を$(0,0,a)$とすると

点$(x,y,z)$におけるポテンシャルは
\be
\phi(x,y,z)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}}-
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+a)^2}}\right)
\ee

このポテンシャルで,$z=0$で$\phi=0$は明らかである。
$\phi(x,y,0)=0$

\smallskip

\bea
E_z(x,y,z)&=&-\frac{\partial\phi}{\partial z} \nn
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[
\frac{z-a}{\left(x^2+y^2+(z-a)^2\right)^{3/2}}-
\frac{z+a}{\left(x^2+y^2+(z+a)^2\right)^{3/2}}\right]
\eea

$z=0$では
\be
E_z(x,y,0)=-\frac{q}{2\pi\epsilon_0}
\frac{a}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{3/2}}
\ee

\bigskip

\noindent
実際は,導体表面上に電荷が誘導されている。

導体表面近傍でガウスの定理を用いる。

導体表面上では,電荷(面)密度を$\sigma$とすると
\be
E_z=\frac{\sigma}{\epsilon_0}
\ee
なので,

導体表面に誘導された電荷密度は
\bea
\sigma(x,y)&=&\epsilon_0 E_z(x,y,0) \nn
&=&-\frac{q}{2\pi}
\frac{a}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{3/2}}
\eea

$\int\int\sigma dx dy=-q$となるはず。

\bea
\int\int\sigma dx dy&=&
-\frac{q}{2\pi}2\pi\int_0^{\infty}
\frac{a r}{\left(r^2+a^2\right)^{3/2}}dr \nn
&=&-q\int_0^{\infty}
\frac{x dx}{\left(x^2+1\right)^{3/2}} \nn
&=&-\frac{q}{2}\int_0^{\infty}\
\frac{dt}{\left(1+t\right)^{3/2}} \nn
&=&-q\left[-\frac{1}{\sqrt{1+t}}\right]_0^{\infty} \nn
&=&-q
\eea



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{thebibliography}{99}

%\bibitem{To} ???・


%\end{thebibliography}

\end{document} 

戻る