曲率の計算

切り取って， pLaTeX

%pLaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi 1999
\documentstyle[12pt]{jarticle}
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\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
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%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 2.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{
曲率を計算する
}
\author{
白石　清（山口大学理学部）
}
\date{1998年12月07日}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
多脚場を使って，曲率を計算する。
簡略化のため，説明の
論理は穴だらけかも知れないので，
頭から信じ込まないよーに。
\end{abstract}

\newpage

\section{多脚場を導入} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

計量を次のように書く。
\be
g_{\mu\nu}=e^a_{\mu}e_{a\nu}=\eta_{ab}e^a_{\mu}e^b_{\nu}
\ee
ここで$\eta_{ab}=diag.(-1,1,1,1)$などとする。（何次元でもよい）

$e^a_{\mu}$を多脚場(vielbein)と呼ぶ。四次元のときは，
四脚場(vierbein)。

多脚場に対する共変微分を，以下のようにする。
\be
\nabla_{\nu}e^a_{\mu}=\partial_{\nu}e^a_{\mu}+
\omega_{\nu}^a{}_{b}e^b_{\mu}-
\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}e^a_{\lambda}
\ee

また，
\be
\nabla_{\nu}\eta_{ab}=0
\ee
とする。

このとき
\bea
\nabla_{\lambda}g_{\mu\nu}
&=&\nabla_{\lambda}(e^a_{\mu}e_{a\nu}) \nn
&=&\partial_{\lambda}(e^a_{\mu}e_{a\nu})-
\Gamma^{\rho}_{\lambda\mu}e^a_{\rho}e_{a\nu}-
\Gamma^{\rho}_{\lambda\nu}e^a_{\mu}e_{a\rho} \nn
&=&(\nabla_{\lambda}e^a_{\mu})e_{a\nu}+
e^a_{\mu}\nabla_{\lambda}e_{a\nu}-
(\omega_{\lambda}^{ab}+
\omega_{\lambda}^{ba})e_{a\mu}e_{b\nu} 
\eea
となるから，
\be
\nabla_{\lambda}g_{\mu\nu}\Longleftrightarrow
\nabla_{\lambda}e^a_{\mu}=0~~~and~~~
\omega_{\lambda}^{ab}=-\omega_{\lambda}^{ba}
\ee
がわかる。

$\Gamma$を消去して，$e$と$\omega$の関係を求める。
そのために，$\nabla_{\nu}e^a_{\mu}=0$より，
\be
\nabla_{\nu}e^a_{\mu}-\nabla_{\mu}e^a_{\nu}=0
\ee
を考える。上の式から
\be
\partial_{\nu}e^a_{\mu}+\omega_{\nu}^a{}_be^b_{\mu}-
(\nu\leftrightarrow\mu)=0
\ee

このような反対称の式は，微分形式を使うと，
簡単に表される。
\be
e^a\equiv e^a_{\mu}dx^{\mu},~~~~~
\omega^{ab}\equiv \omega_{\mu}^{ab}dx^{\mu}
\ee
を定義し，
\be
dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}=-dx^{\nu}\wedge dx^{\mu}
\ee
および
\be
ddx^{\mu}=0,~~~~~de^a=\partial_{\nu}e^a_{\mu}dx^{\nu}\wedge dx^{\mu}
\ee
などから，
\be
\nabla_{\nu}e^a_{\mu}-\nabla_{\mu}e^a_{\nu}=0
\Longleftrightarrow
de^a+\omega^a{}_b\wedge e^b=0
\ee
を得る。ただし$\omega^{ab}=-\omega^{ba}$。

\section{曲率} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bea
& &\left[\nabla_{\rho},\nabla_{\sigma}\right]e^a_{\mu} \nn
&=&\left(\partial_{\rho}\omega_{\sigma}{}^a{}_b+
\omega_{\rho}{}^a{}_c\omega_{\sigma}{}^c{}_b\right) e^b_{\mu}
-\left(\partial_{\rho}\Gamma_{\sigma\mu}^{\lambda}-
\Gamma_{\rho\mu}^{\tau}\Gamma_{\sigma\tau}^{\lambda}\right) e^a_{\lambda}\nn
&-&\left(\rho\leftrightarrow\sigma\right)\nn
&=&\left(\partial_{\rho}\omega_{\sigma}{}^a{}_b-
\partial_{\sigma}\omega_{\rho}{}^a{}_b+
\omega_{\rho}{}^a{}_c\omega_{\sigma}{}^c{}_b-
\omega_{\sigma}{}^a{}_c\omega_{\rho}{}^c{}_b\right) e^b_{\mu}\nn
&-&\left(\partial_{\rho}\Gamma_{\sigma\mu}^{\lambda}-
\partial_{\sigma}\Gamma_{\rho\mu}^{\lambda}+
\Gamma_{\sigma\mu}^{\tau}\Gamma_{\rho\tau}^{\lambda}-
\Gamma_{\rho\mu}^{\tau}\Gamma_{\sigma\tau}^{\lambda}\right) e^a_{\lambda}
\eea
なので，
$\left[\nabla_{\rho},\nabla_{\sigma}\right]e^a_{\mu}=0$
より
\bea
& &\partial_{\rho}\omega_{\sigma}{}^a{}_b-
\partial_{\sigma}\omega_{\rho}{}^a{}_b+
\omega_{\rho}{}^a{}_c\omega_{\sigma}{}^c{}_b-
\omega_{\sigma}{}^a{}_c\omega_{\rho}{}^c{}_b \nn
&=&e^a_{\mu}e_{b\nu}R^{\mu\nu}{}_{\rho\sigma}=R^{a}{}_{b\rho\sigma}
\eea
ただし
\be
R^{\lambda}{}_{\mu\rho\sigma}=\partial_{\rho}\Gamma_{\sigma\mu}^{\lambda}-
\partial_{\sigma}\Gamma_{\rho\mu}^{\lambda}+
\Gamma_{\sigma\mu}^{\tau}\Gamma_{\rho\tau}^{\lambda}-
\Gamma_{\rho\mu}^{\tau}\Gamma_{\sigma\tau}^{\lambda},
\ee
これはリーマン曲率テンソル。

結局，$e$から$\omega$を求め，$\omega$から曲率を計算できる。
微分形式では，
\bea
\Theta^a{}_b&=&d\omega^a{}_b+\omega^a{}_c\wedge\omega^c{}_b\nn
&=&\frac{1}{2}R^{a}{}_{b\rho\sigma}dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma}
\eea
がcurvature 2-formと呼ばれるものである。

まとめ~~~~~
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$de^a+\omega^a{}_b\wedge e^b=0$ \\
$\Theta^a{}_b=d\omega^a{}_b+\omega^a{}_c\wedge\omega^c{}_b$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{曲率の計算例} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Robertson-Walker metric} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

宇宙論のモデルとして，一様等方な空間がよく用いられる。
\be
ds^2=-dt^2+a^2(t)d\Omega^2_N
\ee
この場合，
\be
e^0=dt,~~~~~e^A=a(t)\tilde{e}^A
\ee
ただし
\be
d\tilde{e}^A+\tilde{\omega}^A{}_B\wedge\tilde{e}^B=0,
\ee
$A=1,...,N$
とする。さらに，$N$次元空間が最大の対称性
をもっているとすると，curvature 2-formは次のように書ける。
\be
\tilde{\Theta}^A{}_B＝d\tilde{\omega}^A{}_B+
\tilde{\omega}^A{}_C\wedge\tilde{\omega}^C{}_B=
k \tilde{e}^A\wedge\tilde{e}^B,
\ee
ここで$k$は定数。$k=1,0,-1$のいづれかに規格化できる。

$e$の外微分から
\bea
de^0&=&0, \\
de^A&=&\dot{a}dt\wedge\tilde{e}^A+ad\tilde{e}^A \nn
&=&\frac{\dot{a}}{a}e^0\wedge e^A-
\tilde{\omega}^A{}_B\wedge e^B,
\eea
なので，
\be
\omega^A{}_0=\frac{\dot{a}}{a}e^A,~~~
\omega^A{}_B=\tilde{\omega}^A{}_B
\ee

曲率2-formはこのとき
\bea
\Theta^0{}_A&=&d\omega^0{}_A+
\omega^0{}_B\wedge\omega^B{}_A \nn
&=&d\left(\frac{\dot{a}}{a}e^A\right)+
\frac{\dot{a}}{a}e^B\wedge\tilde{\omega}^B{}_A \nn
&=&
\left[
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{\cdot}+
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}
\right]e^0\wedge e^A \nn
&=&
\frac{\ddot{a}}{a}e^0\wedge e^A,
\eea
\bea
\Theta^A{}_B&=&d\omega^A{}_B+
\omega^A{}_C\wedge\omega^C{}_B+
\omega^A{}_0\wedge\omega^0{}_B \nn
&=&\tilde{\Theta}^A{}_B+
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}e^A\wedge e^B \nn
&=&
\frac{\dot{a}^2+k}{a^2}e^A\wedge e^B.
\eea

\end{document}
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