宇宙物理学特論試験問題

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%\hfill {ver. 2.0}
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\title{
宇宙物理学特論問題
}
\author{
白石　清（山口大学理学部）
}
\date{ver. 2.0}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
宇宙物理学特論問題。平成10年2月16日〆切
\end{abstract}

\newpage

\begin{center}
{\bf 宇宙物理学特論レポート問題}
\end{center}

\paragraph{1.}
宇宙項を含むEinstein equation
\[
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=
8\pi G T_{\mu\nu},
\]
において，
\[
T^0_0=-\rho,
\]
他の成分はゼロとする。

空間は一様等方で，空間の曲率がゼロであることを仮定する。
計量は次の形であるとする。
\[
ds^2=-dt^2+a^2(t)[dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)].
\]

宇宙項を含み，空間的に一様なdustに満ちているようなこのモデルで，
$a(t)$を具体的に求めよ。

ただし，現在の宇宙時を$t_0$とし，
$a(t_0)=a_0$，$\left.\frac{\dot{a}}{a}\right|_{t=t_0}=H_0$，
$\rho_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$，$\lambda_0=\frac{\Lambda}{3H_0^2}$，
$\Omega_0=\left.\frac{\rho}{\rho_c}\right|_{t=t_0}$
などを使ってください。（$\lambda_0+\Omega_0=1$である。）

\paragraph{2.}
このモデルにおける赤方偏移$z$を，天体から光の放出された時刻$t_1$
と現在の時刻$t_0$を使った式であらわに書け。

\paragraph{3.}
天体の実際の大きさを$d$，みかけの視直径を$\Delta\theta$
とするとき，
\[
\Delta\theta=\frac{d}{a(t_1)r_1}
\]
である。
ここで$r_1$は天体までの座標距離である。

$\lambda_0$が非常に小さいとき，$\frac{\Delta\theta}{d}$を
$z$で表せ。（$\lambda_0$の1次まででよい。）

\paragraph{4.}
余裕があれば，{\bf 3.}の問題を，$\lambda_0$が0から1の間の任意
の値のときに考察し，結果を適当なグラフにまとめよ。

\subparagraph{以上}




\end{document}
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