%Kiyoshi Shiraishi:CandG lec %
11/10/2002
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宇宙論と重力


%

Cosmology and Gravitation


%

09/07/2000 放送大学山口学習センター


%

間違いをご指摘下さい。


%LaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi
\documentstyle[12pt,graphics]{jarticle}
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\nn}{\nonumber \\}

\newcommand{\vnabla}{{\bf \nabla}}
\newcommand{\vsigma}{\vec{\sigma}}
%\newcommand{\vsigma}{{\bf \sigma}}
\newcommand{\vA}{{\bf A}} %vector potential
\newcommand{\va}{{\bf a}} 
\newcommand{\vB}{{\bf B}} %磁場
\newcommand{\vD}{{\bf D}}
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\newcommand{\bx}{{x\!\!\!\mbox{-~}}}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 1.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{{\small 専門科目 自然の理解}\\
宇宙論と重力}
\author{
白石 清(山口大学理学部)
}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
宇宙の大きなスケールでは,自然界の力のうち,重力がもっとも
本質的な役割を演じている。本講義では,宇宙モデル,量子宇宙論,
ブラックホールなどをとりあげ,なるべく初等的な力学の知識を用いて,
宇宙における重力のさまざまな側面について考えてみたい。
一般相対性理論の初歩とその応用についても紹介し,
ニュートンの重力理論との比較を試みたい。
\end{abstract}

\newpage
\tableofcontents


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\section{Introduction}
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重力は最も古くから人類に認識された「力」であろう。
\footnote{もっとも,「力」の概念はニュートン以降か?}
ニュートン(1643-1727)以来の精密科学としての枠組みの中で,重力の概念は
アインシュタイン(1879-1955)の一般相対論として結実をみた。

重力は宇宙の様々なスケールで本質的な役割を演じている。
これは重力は特徴的な長さのない長距離力であるという特性に由来する。
\footnote{最近,パイオニア10及び11号が太陽系周辺部で予期しない加速
を受けているという報告がある(Phys. Rev. Lett. {\bf 81} (1998) 2858 他)。
本当だとすると,重力が何かのスケールに依存している可能性がある。}




本講義では力学および基礎数学の知識を前提とする。
\footnote{集中講義なので,まとまったものにしたいが,
一方で時間の制約があるため。質問が有ればその都度説明しよう。}
講義タイトルは,「宇宙論と重力」だが,ノート
\footnote{この文を書いている時点では,「ノート」とは言い難く,
「メモ」である!}
をつくっている段階で「重力」のほうに力が入ってしまった。
\footnote{それでもやり残したことが多々ある。スウィングバイ\cite{バージャー1},
ラグランジュ点のことなど。}
\footnote{相対論的分野でやり残したことは,重力とスピン,重力子のスピン,
場の理論的に見た重力理論の唯一性,など。}
さらに,宇宙論の部分が非常に該博となってしまった。
\footnote{宇宙論的分野でやり残したことは,いっぱい有りすぎる。}
ここでの「宇宙論」は「宇宙物理」と解釈して欲しい。

\newpage

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\section{ニュートン重力}
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\subsection{地上と天上}
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質量$m$の物体に外力$\vF$が働いているとき,その運動方程式は
\be
\vF=m\va
\ee
と書ける。ここで$\va$は物体の加速度。

地表近くでは,鉛直上方に$z$軸をとると重力は
\be
F_z=-mg
\ee
で表される。$g$は重力加速度でほぼ$9.8 {\rm m/s}$という値を持つ。
ニュートンは,天体の運動の解析から,質量$M$の物体によって質量$m$の物体に働く力は
\be
F_r=-\frac{GMm}{r^2}
\ee
であることを導いた。$F_r$は力$\vF$の動径(方向)成分。ただしここで$G$は重力定数。
\footnote{$G$は本当に「定数」か?というのは興味深い話題であるが,今回は割愛。}
これはいわゆる中心力の典型例である。

地球の質量$M_{\oplus}$が地球中心に集まったものとして計算すると
\footnote{この正当性はAppendix}
地上の重力加速度は
\footnote{地上の重力は本当は万有引力と「遠心力」との和。
以降も,このような大雑把な話が続く。}
\be
g=\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}
\ee
ただしここで地球は半径$R_{\oplus}$の球と近似した。


今,月はだいたい地球のまわりの,
半径$r$の円軌道上を一定の速さ$v$で運動しているとすると
\footnote{$\omega$は一般に角速度,$T$は周期と呼ばれる。}
\be
\frac{v^2}{r}=r\omega^2=\frac{GM_{\oplus}}{r^2}
\ee

\be
r\left(\frac{2\pi}{T_{moon}}\right)^2=g\frac{R_{\oplus}^2}{r^2}
\ee
個々の値を入れてみよう。


ところで,ニュートンのリンゴの子孫は世界各地にある。

ニュートンは,リンゴも月も地球の重力にひかれていることに
気がついた。

月は落ちている!ことは次のようにしてわかる。
短い時間間隔$\Delta t$の間に,月は地球に
\bea
\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}-r&\approx& r\left(1+\frac{(v\Delta t)^2}{2r^2}-1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\frac{v^2}{r}{\Delta t}^2
\eea
だけ近づいている,すなわち「落ちている」。これは「自由落下」と同様である。

ニュートンは,山の頂上から水平に物体を打ち出す絵を描いている。
初速が十分おおきければ,物体は地面に落ちずに,元に戻ってくる。
「人工衛星」を予言した?といってもよい。

\bigskip

後に,英国のキャベンディシュ(1731-1810)は実験室で重力の逆自乗則を検証した。


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\subsection{重力ポテンシャル}
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$\Phi$:重力ポテンシャル

\be
\vF=-m\vnabla\Phi
\ee

重力ポテンシャルは,単位質量当たりの重力による位置エネルギーである。

地表では
\be
\Phi=gz
\ee

\begin{quote}
ex.
東京-山口間にトンネルを掘って,その中を
重力による運動で通過する。
最短時間でいけるようなトンネルの形を求めよ。摩擦は無視する。
\end{quote}

一般に質量密度$\rho(\vr)$が与えられているとき,重力ポテンシャルは次で
求められる。
\be
\Phi(\vr)=-G\int_V \frac{\rho(\vr')}{|\vr-\vr'|}d^3\vr'
\ee

重力ポテンシャルの満たすべき方程式は
\be
\nabla^2\Phi=4\pi G \rho
\label{poisson}
\ee
である。$\nabla^2$はラプラシアンと呼ばれる。
また,この形の方程式をポアソン方程式と呼ぶ。

\bigskip

中心力の場合(球対称)
\be
F_r=-m\frac{\partial\Phi(r)}{\partial r}
\ee

\be
\nabla^2\Phi(r)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2
\frac{\partial\Phi(r)}{\partial r}
\ee

方程式(\ref{poisson})の左辺を半径$R$の球の内部で体積積分すると
\bea
\int_{球}\nabla^2\Phi(r) d^3\vr&=&4\pi\int_0^R
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2
\frac{\partial\Phi(r)}{\partial r} r^2 dr \nn
&=&4\pi\left[r^2
\frac{\partial\Phi(r)}{\partial r}\right]_0^R 
\eea
原点で$\Phi$が正則と仮定すれば
\be
4\pi\left.R^2
\frac{\partial\Phi(r)}{\partial r}\right|_{r=R} 
\ee


一方,方程式(\ref{poisson})の右辺の積分は
\be
4\pi G\int_{球}\rho(r) d^3\vr=4\pi GM(R)
\ee
ここで,$M(R)$は球内にある質量。

したがって,
\be
\left.\frac{\partial\Phi(r)}{\partial r}\right|_{r=R}=\frac{GM(R)}{R^2}
\ee
球対称のときのポアソン方程式の「正しさ」は,これで実感できたかな?


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\subsection{潮汐力}
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潮の満ち引きはなぜおこるか?\cite{祖父江1}

一般に,重力の「差」が(おおざっぱにいえば)潮汐力となる。

\bigskip

月による重力の強さ,地表と地球中心での差は
\be
\frac{GM_{moon}}{(r-R_{\oplus})^2}-\frac{GM_{moon}}{r^2}\approx
2\frac{GM_{moon}}{r^3}R_{\oplus}
\ee

地球による重力,平均海水面とそこから$a$だけ盛り上がった場合の差は
\be
\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}-\frac{GM_{\oplus}}{(R_{\oplus}+a)^2}\approx
2\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^3}a
\ee

これらが釣り合ってるとすると
\be
\frac{M_{moon}}{r^3}R_{\oplus}=
\frac{M_{\oplus}}{R_{\oplus}^3}a
\ee

\be
M_{moon}=
\frac{a r^3}{R_{\oplus}^4}M_{\oplus}
\ee

値を入れてみよう。
$a\approx 50 {\rm cm}$でよいか?



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\subsection{ケプラーの第3法則:次元解析から}
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\noindent
ケプラーの法則

1 惑星の運動は楕円軌道を描く。

2 面積速度一定

3 各惑星の軌道の平均半径の3乗と公転周期の2乗の比は一定

\bigskip

惑星の運動は太陽による重力にのみ支配されているであろう。
そうすると共通する量は
\be
GM_{\odot}
\ee
であろう。ここで$M_{\odot}$は太陽質量。
\be
\frac{GM_{\odot}m}{r^2}
\ee
が力の次元を持つことから,$GM_{\odot}$の次元は
\be
(長さ)^3/(時間)^2
\ee

したがって,個々の惑星の「軌道半径」の3乗割る「公転周期」の2乗は
共通であろう,と推測される。
これは後に再び確かめる。

\newpage


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\section{アインシュタイン重力}
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ひととおりのお約束ごとは,学習していると仮定する。
\footnote{そういえば,アインシュタインの規約はよろしいのでしょうか?}

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\subsection{測地線}
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質量$m$の粒子を考える。粒子の作用(action)は,世界線の長さに比例する。
\be
I=-mc\int ds=-mc\int \sqrt{-g_{\mu\nu}
\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}}d\tau
\ee
計量$g_{\mu\nu}$は,座標で表した長さの「はかり方」をあらわす。

変分原理により,作用が極値となる運動が実現される。
今の場合,世界線の長さ($\int ds$)が極値となると言っても良い。


Euler-Lagrange eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}\right)-
\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=0
\ee

(ここで
\be
I=\int L d\tau
\ee
および
\be
\dot{x}^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}
\ee
)は今の場合以下のようになる。
\be
\frac{d}{d\tau}\left(
\frac{-g_{\mu\nu}}{\sqrt{-g_{\lambda\sigma}\dot{x}^{\lambda}\dot{x}^{\sigma}}}
\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\right)-
\frac{-\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}}}%
{2\sqrt{-g_{\lambda\sigma}\dot{x}^{\lambda}\dot{x}^{\sigma}}}
\frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}=0
\ee

\be
\frac{d}{ds}\left(g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{ds}\right)-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}}
\frac{dx^{\alpha}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds}=0
\ee

\be
g_{\mu\nu}\frac{d^2x^{\nu}}{ds^2}+
\frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x^{\alpha}}
\frac{dx^{\alpha}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds}-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}}
\frac{dx^{\alpha}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds}=0
\ee

計量の「逆」
\be
g^{\lambda\mu}g_{\mu\nu}=\delta^{\lambda}_{\nu}
\ee
を使うと
\be
\frac{d^2x^{\lambda}}{ds^2}+
\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds}=0
\label{geodesic}
\ee
と書ける。ただしここで
(metric) connection $\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta}$は
\be
\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\lambda\mu}\left(
\frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x^{\alpha}}+
\frac{\partial g_{\alpha\mu}}{\partial x^{\beta}}-
\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}}
\right)
\ee
で与えられる。

(\ref{geodesic})を「測地線の式」と呼ぶ。

時間空間をあわせて「時空」と呼ぶ。「時空」が「平坦」なとき
$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$と書き,
\be
-ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2
\ee
である。

さて測地線の式はいかにして重力が働いているときの粒子の運動を表すのか?
ニュートン近似を考えてみる。粒子の速度は光速に比べて十分小さいとし,
重力の大きさも弱いとする。
\be
ds\approx cdt
\ee
なので
\be
\frac{d^2x^{i}}{dt^2}+
c^2\Gamma^{i}_{00}\approx 0
\ee
また
\be
\Gamma^{i}_{00}\approx -\frac{1}{2}
\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{i}}
\ee
であるから,
ニュートンの運動方程式
\be
\frac{d^2x^{i}}{dt^2}=-\frac{\partial\Phi}{\partial x^i}
\ee
とくらべると
\be
g_{00}\approx -\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right)
\ee
となっていればよい。

\begin{quote}
これが正しい意味を持っているかを確かめるため,
最初の作用にニュートン近似を使ってみる。
\bea
I&\approx& -mc\int\sqrt{1+\frac{2\Phi}{c^2}-\frac{\vv^2}{c^2}}cdt \nn
&\approx& -mc\int\left(1-\frac{\vv^2}{2c^2}+\frac{\Phi}{c^2}\right)cdt \nn
&\approx& \int\left(-mc^2+\frac{1}{2}m\vv^2-m\Phi\right)dt \nn
\eea
確かに,(定数を除いて)ポテンシャルがある場合の古典力学の作用となっている。
\end{quote}

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\subsection{アインシュタイン方程式}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

では,ポテンシャルを決める(\ref{poisson})に対応した式は何だろうか。
それがアインシュタイン方程式である。
\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee
ここで$R_{\mu\nu}$はリッチ曲率,$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$は
スカラー曲率と呼ばれる量である。

アインシュタイン方程式は次のようにも書ける。
\be
R_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}T g_{\mu\nu}\right)
\ee
ただしここで$T\equiv T_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$。

エネルギー運動量テンソル$T_{\mu\nu}$の中身は後に詳しく調べるが,ニュートン近似
では,圧力等は無視されて,
\be
T_{00}\approx \rho c^2
\ee
また
\be
T\approx -\rho c^2
\ee
である。

\be
\Gamma^{i}_{00}\approx -\frac{1}{2}
\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{i}}=
\frac{1}{c^2}\frac{\partial \Phi}{\partial x^{i}}
\ee
なので
\be
R_{00}\approx \frac{\partial}{\partial x^{i}}\Gamma^{i}_{00}
=\frac{1}{c^2}\nabla^2\Phi
\ee
より
\be
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho
\ee
を再現する。

\newpage

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\section{軌道運動}
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\subsection{円軌道(N)}
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本当は,重心のまわりの相対運動を考えなくてはならないが,
片方の質量が非常に大きいとして,それを中心とした軌道運動(等速円運動)を
考える。

\begin{quote}
ex.
太陽-木星の重心はどこにあるか?
\end{quote}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{静止衛星}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

衛星の周期が地球の自転周期と同じ人工衛星。

\begin{quote}
ex.
静止衛星の地表からの高さはいかほどか?
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{第一宇宙速度}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

地表ぎりぎりの人工衛星の速さ。
\be
\frac{v_{[1]}^2}{R_{\oplus}}=\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}
\ee
より
\be
v_{[1]}=\sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}}=\sqrt{g R_{\oplus}}
\ee


\begin{quote}
ex.
どのくらいの値か?
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{第二宇宙速度}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

地球の重力に引かれてもどって来ないための,地表での最低速度。
\footnote{当然,打ち上げ後は推進力は使わないとする。}

第二宇宙速度・・・約11.2 km/s,音速の約30倍

\be
\frac{1}{2}v_{[2]}^2-\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}=0
\ee
全力学的エネルギーがゼロ・・・無限遠に(ギリギリ)到達できる。
\be
v_{[2]}=\sqrt{\frac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}}=\sqrt{2gR_{\oplus}}
\ee

\begin{quote}
ex.
大気中の分子の速度を第二宇宙速度と比べてみよう。
\end{quote}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{第三宇宙速度}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

太陽の重力に引かれてもどって来ないための,地球軌道での最低速度。
\be
\frac{1}{2}v_{[3]}^2-\frac{GM_{\odot}}{R_{AU}}=0
\ee
$R_{AU}$は(平均)地球公転軌道半径=1天文単位。

\be
v_{[3]}=\sqrt{\frac{2GM_{\odot}}{R_{AU}}}=\sqrt{2}\frac{2\pi R_{AU}}{T_{1年}}
\ee

というのは,間違い。

公転速度を持ってますからねえ。

正しく求めてください。

\begin{quote}
ex.
どのくらいの値か?
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{脱出速度}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

質量$M$,半径$R$の天体からの脱出速度は
\be
v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}
\ee

\begin{quote}
ex.
太陽表面からの脱出速度は? (約$620 {\rm km/s}$)
\end{quote}

\begin{quote}
ex.
一般の星表面で,脱出速度が「光速」となるときの条件は?

もちろん,光速に近い運動をニュートン力学では取り扱えないのだが・・・
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{ケプラーの第3法則}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

惑星の軌道を半径$a$の円軌道とする。
\be
\frac{GM_{\odot}}{a^2}=\frac{v^2}{a}=a\omega^2=a\left(\frac{2\pi}{T}\right)
\ee
$T$は公転周期。

したがって
\be
4\pi^2\frac{a^3}{T^2}=GM_{\odot}
\ee

\bigskip


衛星の運動から惑星の質量がわかる・・・などの応用に使える。



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{スカイフック}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{quote}
ex.
スカイフック(ハインラインによる)をつくろう。\cite{princeton}
密度一様のロープの端が赤道上の有る地点にあり,垂直に延びている。
ロープと地面は接着はしていない。ロープの長さはどれくらい?
($1.5\times 10^5 {\rm km}$)
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{楕円軌道(N)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{極座標で解く}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

軌道は$x$-$y$平面上にあるとする。

極座標$r,\phi$であらわす。
\be
\left\{\begin{array}{l}
x=r\cos\phi \\
y=r\sin\phi
\end{array}
\right.
\ee

エネルギー保存より
\be
E=T+V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+V(r)
\ee
は一定。ここで,$\dot{~}$は時間による微分を表す。

角運動量保存により
\be
m r^2 \dot{\phi}=\ell
\ee
は一定。

したがって
\be
\dot{r}^2=\frac{2}{m}\left(E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2}\right)
\ee
ただし
\be
V(r)=-\frac{k}{r}=-\frac{GMm}{r}
\ee

この式の左辺は正なので,右辺も正となるような$r$の値しかとりえない。

\bigskip

軌道を表す式は
\be
\frac{dr}{d\phi}=
\frac{\dot{r}}{\dot{\phi}}=
\frac{mr^2}{\ell}\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2}\right)}
\ee

簡単のため,変数を変える。
\be
u=\frac{1}{r}
\ee
すると
\be
\frac{du}{d\phi}=
-\sqrt{\frac{2mE}{\ell^2}+\frac{2mku}{\ell^2}-u^2}
\ee

積分(公式集)
\be
\int\frac{dx}{\sqrt{a+bx+cx^2}}=\frac{1}{\sqrt{-c}}\cos^{-1}\frac{-b+2cx}{b^2-4ac}
\ee
を用いると
\be
\phi=\phi_0-\cos^{-1}\left[
\frac{\frac{\ell^2 u}{mk}-1}{\sqrt{1+\frac{2E\ell^2}{mk^2}}}\right]
\ee

\begin{quote}
または,以下のようにして解いても良い。
\be
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2=
\frac{2mE}{\ell^2}+\frac{2mku}{\ell^2}-u^2
\ee
の両辺を$\phi$で微分した式より
\be
\frac{d^2u}{d\phi^2}+u=\frac{mk}{\ell^2}
\ee
(これは単振動だ!($u-mk/\ell^2$))
\end{quote}


いずれにせよ解は
\be
\frac{1}{r}=C\left(1+\epsilon\cos(\phi-\phi_0)\right)
\ee

\be
C=\frac{mk}{\ell^2}=\frac{GMm^2}{\ell^2}
\ee

\be
\epsilon=\sqrt{1+\frac{2E\ell^2}{mk^2}}=\sqrt{1+\frac{2E\ell^2}{G^2M^2m^3}}
\ee

\bea
& &E>0 \rightarrow \epsilon>1~~~~~~~~~双曲線\\
& &E=0 \rightarrow \epsilon=1~~~~~~~~~放物線\\
& &E<0 \rightarrow \epsilon<1~~~~~~~~~楕円 (\epsilon=0 円)
\eea
となっている。

$\epsilon$は(特に楕円の場合),離心率と呼ばれる。

\bigskip

前にも述べたが,
2体の運動は正確には重心系で取り扱うべきである。
特に二重星等の運動については,明らかである。
惑星系について,他の惑星の重力による摂動が重要なのも
言うまでもない。

2体の運動の
より詳しい分析は\cite{江沢1}\cite{バージャー1}などを見よ。
軌道面が不変であることをきちんと証明している。
\footnote{ぼくも思わずベクトルを使いたくなった。}

ニュートンはプリンキピアにおいて,幾何学的導出をしている。
ファインマン\cite{ファインマン1}を読め。また,
チャンドラセカールによる解説も参照。

\bigskip



・引力が逆自乗でない場合の検討は\cite{堀1}を見よ。
\begin{quote}
ex. 中心力(引力)による運動で,質点の軌道が$r=2a\cos\phi$で表されるとき,
力の大きさは$1/r^5$に比例することを示せ。
\end{quote}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{楕円}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$E<0$のとき

$r$の最大値
\be
r_{max}=C^{-1}\left(1-\epsilon\right)^{-1}
\ee

$r$の最小値
\be
r_{min}=C^{-1}\left(1+\epsilon\right)^{-1}
\ee

\be
a=\frac{r_{max}+r_{min}}{2}=C^{-1}\left(1-\epsilon^2\right)^{-1}
\ee
$a$は軌道半長径,あるいは平均軌道半径とよばれる。


$\phi_0=0$とすると
\be
\frac{(r\cos\phi+a\epsilon)^2}{a^2}+\frac{(r\sin\phi)^2}{b^2}=
\frac{(x+a\epsilon)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\ee
ここで
\be
b=\sqrt{1-\epsilon^2} a
\ee
これは楕円の表現の,もうひとつの形。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{ケプラーの第三法則(N)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

角運動量保存則から
\be
\frac{1}{2}r^2\dot{\phi}=\frac{\ell}{2m}
\ee

これを積分することにより,軌道(に囲まれた)面積が求められる。
\be
\int_0^T\frac{1}{2}r^2\dot{\phi}dt=\pi ab=\frac{\ell}{2m}T
\ee
$T$は(公転)周期。

$b$をうまく消去すると
\be
\frac{\ell}{2m}T=\pi ab=\pi a^{3/2}\sqrt{\frac{\ell^2}{mk}}
\ee
となり,すなわち
\be
T=2\pi a^{3/2}\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM_{\odot}}} a^{3/2}
\ee

\be
GM_{\odot}=4\pi^2\frac{a^3}{T^2}
\ee
ケプラーの第3法則を得た。$a$のみを用い,離心率を含まない表現になっている。


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{一様密度}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

一様質量密度$\rho_0$をもつ球状の星を考えよう。これを「地球」とする。
\be
F_r=-\frac{GMm}{r^2}
\ee

中心から$r$の球内部に含まれる質量は
\be
M=\frac{4\pi}{3}r^3 \rho_0
\ee
なので
\be
F_r=-\frac{4\pi Gm}{3}\rho_0 r
\ee

\be
V(r)=m\Phi(r)=\frac{1}{2}\frac{4\pi Gm}{3}\rho_0 r^2
\ee

単振動をおこすポテンシャルである。
角振動数は地球では
\be
\omega=\sqrt{\frac{g}{R_{\oplus}}}\approx 1.2\times 10^{-3} {\rm s^{-1}}
\ee

一般に楕円軌道であるが,中心は両焦点の中点(「中心」)。地球内部にある限り
どんな軌道でも,同じ周期をもつ。この周期は,地表すれすれの人工衛星とも同じ。
(約85分で一周。)

\begin{quote}
ex.
(future ex.) 相対論では?(一様密度の星,測地線の式,を解く。)
\end{quote}

\begin{quote}
ex.
直線のトンネルを掘ったとき(必ずしも中心を通らない),その中を
重力によって運動する物体は片道どのくらいの時間で通過するか?摩擦は無視する。
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{惑星の軌道(R)}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{軌道の式(R)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

アインシュタインの重力理論=一般相対論で考察する。ニュートンの重力と
どのようにどのくらい違ってくるのか。

ニュートン近似では一致しそうなことは既に見た。

したがって,厳密な時空の計量の解
\footnote{アインシュタイン方程式の解}
を使う。

質量$M$の球対称な星のまわり(外側)の時空は次の真空球対称解で
表される。
\be
-ds^2=-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c^2 dt^2+\frac{1}{1-\frac{r_g}{r}}dr^2+
r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\right)
\ee
ここで
\be
r_g\equiv\frac{2GM}{c^2}
\ee
である。この解をシュヴァルツシルト解といい,$r_g$をシュヴァルツシルト半径,
またはときに重力半径と呼ぶ。

\bigskip

軌道は赤道面上($\theta=\pi/2$)にあると仮定する。

測地線の式から,以下の3つの式が得られる。

その1:
\be
\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c\dot{t}=\frac{E_R}{mc^2}
\ee
これはエネルギー保存に対応。ここでの$\dot{~}$は$s$による微分を表す。

その2:
\be
r^2\dot{\phi}=\frac{\ell}{mc}
\ee
これは角運動量保存に対応。

その3:(その1,その2をつかって)
\be
-\frac{E_R^2/(m^2c^4)}{1-\frac{r_g}{r}}+\frac{\dot{r}^2}{1-\frac{r_g}{r}}+
\frac{\ell^2}{m^2c^2r^2}=-1
\ee

すなわち
\be
\dot{r}^2=\frac{E_R^2}{m^2c^4}-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)-
\frac{\ell^2}{m^2c^2r^2}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)
\ee
この左辺は正だから,右辺が正になるような$r$の範囲しか動けない。
((N)のときと比べよう。)

\bigskip

軌道の形を表す式
\be
-\frac{r^4E_R^2/(\ell^2c^2)}{1-\frac{r_g}{r}}+
\frac{1}{1-\frac{r_g}{r}}\frac{\dot{r}^2}{\dot{\phi}^2}+r^2
=-\frac{r^4m^2c^2}{\ell^2}
\ee

\be
\frac{1}{r^4}\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2+\frac{1}{r^2}=
\frac{E_R^2-m^2c^4}{\ell^2c^2}+\frac{m^2c^2r_g}{\ell^2 r}+\frac{r_g}{r^3}
\ee

\be
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2+u^2=
\frac{2mE}{\ell^2}+\frac{2mku}{\ell^2}+r_g u^3
\ee

最後の項が「一般相対論的効果」。
\footnote{「空間の曲がっている」効果であることに注意}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{水星近日点の移動}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

水星近日点の移動・・・他の惑星の摂動などの
ニュートン重力で説明できない分は,
100年当たり43秒であることが知られていた。

ここでの近似法は主に\cite{DInv}による。

前式を一回微分して
\be
\frac{d^2u}{d\phi^2}+u-\frac{3}{2}r_g u^2=
\frac{mk}{\ell^2}
\ee

これの解を展開で求める。
\be
u=u_0+u_1+\cdots
\ee
ここで
\be
u_0=C(1+\epsilon\cos\phi)
\ee
は無摂動解であり,
\be
|u_1|\approx r_g/a^2 << |u_0|
\ee
は摂動による小さなずれ。

方程式に代入して展開の1次で
\bea
\frac{d^2u_1}{d\phi^2}+u_1&=&\frac{3}{2}r_g C^2(1+\epsilon\cos\phi)^2 \nn
&=&\frac{3}{2}r_g C^2(1+\epsilon^2/2)
+3r_g C^2 \epsilon\cos\phi
+\frac{3}{4}r_g C^2 \epsilon^2\cos 2\phi
\eea
この方程式の解は
\be
u_1=\frac{3}{2}r_g C^2(1+\epsilon^2/2)
+\frac{3}{2}r_g C^2 \epsilon\phi\sin\phi
-\frac{1}{4}r_g C^2 \epsilon^2\cos 2\phi
\ee

周期的な部分は,軌道の形には関係するが,近日点移動には寄与しない。
したがって周期的でない部分を取り入れて
\bea
u&\approx&C(1+\epsilon\cos\phi)+\frac{3}{2}r_g C^2 \epsilon\phi\sin\phi \nn
&\approx&C\left(1+\epsilon\cos\phi+\frac{3}{2}r_g C \epsilon\phi\sin\phi\right) \nn
&\approx&C\left(1+\epsilon\cos\left[\phi\left(1-\frac{3}{2}r_g C\right)\right]\right)
\eea
と近似できる。

近日点に戻るまでに
\be
\frac{2\pi}{1-\frac{3}{2}r_g C}\approx
2\pi\left(1+\frac{3}{2}r_g C\right)
\ee
の角度進まなければならない。したがって近日点の位置は角度
\be
\Delta\phi=\frac{6\pi GM_{\odot}}{(1-\epsilon^2) a c^2}
\ee
だけ一周期毎に進んでいくことになる。

\begin{quote}
ex.
値を入れてみよ。
\end{quote}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{光の軌道(R)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

光線の軌道

\be
\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c\dot{t}=E
\ee

\be
r^2\dot{\phi}=L
\ee

$ds^2=0$より
\be
-\frac{E^2}{1-\frac{r_g}{r}}+\frac{\dot{r}^2}{1-\frac{r_g}{r}}+
\frac{L^2}{r^2}=0
\ee

\be
\dot{r}^2=E^2-\frac{L^2}{r^2}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)
\ee

\begin{quote}
ex.
光線が円軌道を描くことは可能か?
\end{quote}

\bigskip

\begin{quote}
\underline{ホライズン近くの解}
\bea
\frac{d\phi}{dt}=\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\frac{\lambda}{r^2} \\
\frac{dr}{dt}=-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)
\sqrt{1-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\frac{\lambda^2}{r^2}}
\eea
ここで$\lambda=L/E$。

$r=r_g+\Delta$,$\Delta << r_g$とすると
\bea
\frac{d\phi}{dt}=\frac{\lambda}{r_g^3}\Delta \\
\frac{d\Delta}{dt}=-\frac{\Delta}{r_g}
\sqrt{1-\frac{\lambda^2}{r_g^3}\Delta}
\eea
この解は
\bea
\phi=\frac{2 r_g}{\lambda}\tanh\frac{t}{2 r_g} \\
\Delta=\frac{r_g^3 / \lambda^2}{\cosh^2\frac{t}{2 r_g}}
\eea
\end{quote}

\bigskip

軌道を表す式は
\be
\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2+u^2=
\frac{1}{b^2}+r_g u^3
\ee
となる。前と同様に$u=1/r$とし,$b=|L/E|$である。

一回微分すると
\be
\frac{d^2u}{d\phi^2}+u=\frac{3}{2}r_g u^2
\ee


前と同じく展開で求める。
\be
u=u_0+u_1+\cdots
\ee
ここで
\be
u_0=\frac{\sin\phi}{b}
\ee
は無摂動解(原点から$b$離れた直線!)であり,
\be
|u_1|\approx r_g/b^2 << |u_0|
\ee
は摂動による小さなずれ。

方程式に代入して展開の1次で
\be
\frac{d^2u_1}{d\phi^2}+u_1=\frac{3}{2}r_g \frac{\sin^2\phi}{b^2}
\ee
この方程式の解は
\be
u_1=\frac{1}{2}\frac{r_g}{b^2}(1+C_0\cos\phi+\cos^2\phi)
\ee
ここで$C_0$は任意定数。

$u_0$は$\phi$が$0$および$\pi$で$0$,即ち無限遠に達している。
摂動解では,$-\theta_1$および$\pi+\theta_2$で$0$になるとする。
ここで$\theta_1,\theta_2$はともに小さい正の角度であることが期待される。

\bea
& &-\frac{\theta_1}{b}+\frac{1}{2}\frac{r_g}{b^2}(2+C_0)=0 \\
& &-\frac{\theta_2}{b}+\frac{1}{2}\frac{r_g}{b^2}(2-C_0)=0
\eea

結局,直線から$\Delta\theta$だけ曲がる。これは
\be
\Delta\theta=\theta_1+\theta_2=2\frac{r_g}{b}
\ee
とかける。

太陽による光の曲がりで,一番曲がるのは太陽表面すれすれを通る光なので
\be
\Delta\theta=\frac{4GM_{\odot}}{R_{\odot}c^2}\approx 1.75''
\ee
日食時に背後の恒星の位置がずれて見える。(別の時の写真と比較)

電波源でも観測できる。

\bigskip

銀河の質量により背後の銀河が歪んで,また時に明るく,また複数に見えるような現象を
重力レンズ現象(効果)といい,最近多数の例が見つかっている。

\newpage

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\section{星を形作る重力}
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\subsection{星とニュートン重力}
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\subsubsection{静水平衡}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

星は,(近似的に)球対称自己重力系である。
物質の対流,星からの放射,激しい変動および回転はここでは考えない。
まず,ニュートン的に考察する。

静的な星の内部では,圧力勾配と重力のつり合いが成り立っている(静水(圧)平衡)。
(例えば,\cite{江里口1}参照。)


圧力勾配と重力のつり合いは,以下の式にまとめられる。
\be
\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)}{r^2}\rho
\ee
\be
\frac{dM}{dr}=4\pi r^2\rho(r)
\ee
これらの式と,状態方程式(圧力$P$と質量密度$\rho$の間の関係式)があれば,
星の構造を決めることができる。

\bigskip

大雑把に評価すると,
\be
\frac{P_c}{R}\approx\frac{GM\rho_c}{R^2}
\ee
ここで,$R$は星の半径,
\be
M\approx\frac{4\pi}{3}R^3\rho_c
\ee
は星の質量。圧力と質量密度は中心での値(または平均値)で代表する。

このとき星の質量は
\be
M\approx\sqrt{\frac{P_c^3}{G^3 \rho_c^4}}
\ee
また星の半径は
\be
R\approx\sqrt{\frac{P_c}{G \rho_c^2}}
\ee
と見積もることができる。

\bigskip

\noindent
\underline{例}

・光の圧力が効くとき(密度が小さい)
\be
P_c=一定
\ee
\be
M\propto\frac{1}{\rho_c^2}
\ee

・気体の圧力が効くとき
\be
P_c\approx \rho_c
\ee
\be
M\propto\frac{1}{\sqrt{\rho_c}}
\ee


\begin{quote}
ex.
太陽の場合,
\be
P\approx\frac{\rho}{m_H}kT
\ee
\be
M_{\odot}=\frac{R_{\odot}kT}{Gm_H}
\ee
値を入れてみよう。温度は?
\end{quote}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{ポリトロープ}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

状態方程式が次の形で与えられるときをポリトロープという。
\be
P=K \rho^{1+1/N}
\ee
($K$は定数。)

静水平衡の式から
\be
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)=
-4\pi G \rho(r)
\ee
を得るので,これにポリトロープ型の状態方程式を代入する。
その際,次のような変数を選ぶことにする。
\be
\rho(r)=\rho_c \phi^N(r),~~~\rho_c=\rho(0),~~~\phi(0)=1
\ee

われわれは次の式を得る。
\be
(N+1) K \rho_c^{1/N}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\phi}{dr}\right)=
-4\pi G \rho_c \phi^N(r)
\ee

さらに
\be
a\equiv\sqrt{\frac{(N+1) K \rho_c^{1/N-1}}{4\pi G}}
\ee
\be
\xi\equiv r/a
\ee
とおくと

\underline{Lane-Emden equation}
\be
\frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}\left(\xi^2\frac{d\phi}{d\xi}\right)=
-\phi^N~~~~~~~~(\phi(0)=1)
\ee
を得る。

$N=0,1,5$のときには,解析的な解が知られている。


・$N=0$ 密度一定の星
\be
\phi(\xi)=1-\frac{1}{6}\xi^2
\ee

・$N=1$
\be
\phi(\xi)=\frac{\sin\xi}{\xi}
\ee

・$N=5$
\be
\phi(\xi)=(1+\xi^2/3)^{-1/2}
\ee

また,等温球と呼ばれるものでは
$P\propto \rho$の関係があり,Lane-Emden方程式の$N=\infty$
に対応する。
この場合は,境界条件を無視すれば
特殊な解として$\rho\propto r^{-2}$が得られる。
\footnote{漸近的には等温球は同じ振る舞いをする。}


\bigskip

星の表面は
\be
\phi(\xi_0)=0
\ee
となる$\xi_0$に対応するので星の半径は
\be
R_{\star}=a \xi_0
\ee
で与えられる。

\bigskip

半径$\xi$までに含まれる質量は
\bea
M(\xi)&=&\int_0^{\xi}4\pi a^3 \rho_c \phi^N(\xi') {\xi'}^2 d\xi' \nn
&=&-4\pi a^3 \rho_c\int_0^{\xi} \frac{d}{d\xi'}{\xi'}^2\frac{d\phi(\xi')}{d\xi'}  d\xi' \nn
&=&-4\pi a^3 \rho_c{\xi}^2\frac{d\phi(\xi)}{d\xi}
\eea
なので,
星の質量は
\be
M_{\star}=M(\xi_0)=-4\pi a^3 \rho_c{\xi_0}^2\left.
\frac{d\phi(\xi)}{d\xi}\right|_{\xi=\xi_0}
\ee
となる。

\begin{quote}
ex.
$N=3$のとき,星の質量は中心密度によらないことを示せ。
\end{quote}

\begin{quote}
ex.
$N=0,1,5$のとき,星の半径と質量を求めよ。

おのおのの場合に,半径-質量の関係をグラフにせよ。
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{縮退した星(N)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

電子のようなフェルミ粒子(フェルミオン)は,低温で縮退という現象を起こす。
フェルミ粒子は同一の状態は1つの粒子しか占有できないため,温度がゼロの場合でも
フェルミ粒子の気体は圧力(縮退圧)をもつ。

白色わい星は,電子の縮退圧によって支えられている。

ここでは簡単のため陽子と電子の数がほぼ等しいとする。

電子の密度($\approx$陽子の密度)は
\footnote{位相空間の$\hbar^3$の体積中に1個あると数える。
(スピンの自由度を無視した。)}
\be
n\approx p_F^3/\hbar^3
\ee
ここで$p_F$はフェルミ運動量(電子の集まりの中での最大の運動量)である。

質量密度は,陽子の寄与が圧倒的なので
\be
\rho\approx m_p n
\ee
となる。$m_p$は陽子の質量。

圧力はほとんど電子の縮退圧である。圧力はおおよそ
粒子の運動エネルギーに比例すると思って良い。

・非相対論的な場合(比較的低密度)では
\be
P\approx n p_F^2/m_e\approx \frac{\hbar^2}{m_e m_p^{5/3}}\rho^{5/3}
\ee
($m_e$は電子の質量)

・相対論的な場合(比較的高密度)では
\be
P\approx n p_F c\approx \frac{\hbar c}{m_p^{4/3}}\rho^{4/3}
\ee

\begin{quote}
ex.
それぞれの場合,ポリトロープの$N$はいくつに対応するか。
\end{quote}

\begin{quote}
ex.
密度と圧力の厳密な表現を調べてみよう。
\end{quote}

\bigskip

中心密度が比較的低ければ,
\be
P_c\propto \rho_c^{5/3}
\ee
なので,白色わい星の質量は
\be
M\propto \sqrt{\rho_c}
\ee

高密度の場合は
\be
P_c\propto \rho_c^{4/3}
\ee
より
\be
M\approx \frac{1}{m_p^2}\left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}
=\frac{M_{pl}^3}{m_p^2}=一定
\ee
となる。ここで$M_{pl}$はプランク質量と呼ばれる。

中心密度を高くしても,星の質量には最大値があるということである。
つまり,これ以上大きな質量の白色わい星は(安定には)存在できない。

精密な計算では最大質量は
\be
M_{Ch}=1.4 M_{\odot}
\ee
となり,これをチャンドラセカール質量と呼ぶ。

\begin{quote}
ex. 以下のようにしても評価できることを確かめよ。

星の力学的エネルギーは
\be
E\approx n R^3 E_k-\frac{GM^2}{R}
\ee
ここで$R$は星の半径,

粒子当たりの運動エネルギーは

\be
E_k\approx \frac{p_F^2}{m_e}
\ee
(非相対論的)

\be
E_k\approx p_F c
\ee
(相対論的)

エネルギーが最も低くなるように$R$を決定する。
\end{quote}

\bigskip

同様に,中性子が縮退している場合,中性子星を形成することができる。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{星の振動(N)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

星の微小な振動を考えてみる。\cite{江里口1}

$r$の位置に質点を置く。運動方程式は
\be
\frac{d^2r}{dt^2}=-\frac{GM}{r^2}
\ee

星は一様密度で近似する。
\be
M=\frac{4\pi}{3}r^3 \rho
\ee
すると
\be
\frac{d^2r}{dt^2}=-\frac{4\pi G\rho r}{3}
\ee
単振動となることがわかる。

振動の周期は
\be
T=2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}\propto\frac{1}{\sqrt{G\rho}}
\ee

\bigskip

\begin{quote}
ex.
以下の場合,振動の周期はどれくらいか。

白色わい星($1 M_{\odot}$, $10000 {\rm km}$)

中性子星($1 M_{\odot}$, $10 {\rm km}$)
\end{quote}


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\subsection{星の自転(N)}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

星が自転している場合,遠心力が表面重力を越えることはないので
\cite{中村卓1}
\be
R\omega^2<\frac{GM}{R^2}
\ee
星が一様密度とすると
\be
M=\frac{4\pi}{3}R^3\rho
\ee
密度に下限がつく。
\be
\rho>\frac{3}{4\pi}\frac{\omega^2}{G}
\ee

周期$1.56\times 10^{-3} {\rm s}$のパルサーでは
\be
\omega=\frac{2\pi}{1.56\times 10^{-3} {\rm s}}=4.0\times 10^3 {\rm s^{-1}}
\ee
なので
\be
\rho>5.7\times 10^{10} {\rm kg/cm^3}
\ee

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{一般相対論的星}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




球対称な計量
\be
-ds^2=-e^{-2\delta}\Delta dt^2+\frac{dr^2}{\Delta}+
r^2 \left(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\right)
\ee
を仮定する。
$\Delta, \delta$は$r$のみの関数と仮定する。




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Einstein tensor}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Einstein tensorは次のように定義される。
\be
G^{\mu}_{\nu}\equiv R^{\mu}_{\nu}-\frac{1}{2}R\delta^{\mu}_{\nu}
\ee

\bigskip

先の計量から計算すると(Appendix)
\bea
G^0_0&=&
2\left\{\sqrt{\Delta}\left[\frac{\sqrt{\Delta}}{r}\right]'+
\left[\frac{\sqrt{\Delta}}{r}\right]^2\right\}-
\left\{\frac{1}{r^2}-\left[
\frac{\sqrt{\Delta}}{r}\right]^2\right\} \nn
&=&\frac{1}{r}\Delta'+\frac{\Delta-1}{r^2}
\eea
\bea
G^0_0-G^1_1&=&R^0_0-R^1_1 \nn
&=&
-2\left[
\sqrt{\Delta}\left(-\delta'+
\frac{1}{2}\frac{\Delta'}{\Delta}\right)\right]
\left[\frac{\sqrt{\Delta}}{r}\right] \nn
&+&2\left\{\sqrt{\Delta}\left[
\frac{\sqrt{\Delta}}{r}\right]'+
\left[\frac{\sqrt{\Delta}}{r}\right]^2\right\} \nn
&=&\Delta\frac{2}{r}\delta'
\eea
ここで,${}'$は$r$による微分を表す。

\bigskip

Einstein equationは次のようになっている。
\be
G^{\mu}_{\nu}=R^{\mu}_{\nu}-\frac{1}{2}R\delta^{\mu}_{\nu}=
\frac{8\pi G}{c^4} T^{\mu}_{\nu}
\ee

\be
R^{\mu}_{\nu}=
\frac{8\pi G}{c^4}\left(T^{\mu}_{\nu}-\frac{1}{2}T\delta^{\mu}_{\nu}\right)
\ee

\bigskip

ここで,完全流体 (perfect fluid) を仮定すると
\be
T^{\mu}_{\nu}=diag.\left(-\rho c^2,P,P,P\right)
\ee
また
\be
T=T^{\mu}_{\mu}=-\rho c^2+3 P
\ee
である。

\bigskip

完全流体の場合,アインシュタイン方程式から
\bea
G^0_0&=&-\frac{8\pi G}{c^2}\rho \\
G^0_0-G^1_1&=&-\frac{8\pi G}{c^2}\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)
\eea
を得,今の場合
\bea
\frac{1}{r}\Delta'+
\frac{\Delta-1}{r^2}&=&-\frac{8\pi G}{c^2}\rho \\
\Delta \left[\frac{2}{r}\delta'\right]
&=&-\frac{8\pi G}{c^2}\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)
\eea
となる。
\footnote{真空($\rho c^2=P=0$)のとき,シュヴァルツシルト解が得られる。}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{保存の式}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


エネルギー運動量の保存(conservation)の式(あるいは力学的平衡の式)
\be
\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=0
\ee
を適用してみる。
\footnote{
\be
\nabla_{\lambda}T^{\mu\nu}=\partial_{\lambda}T^{\mu\nu}+
\Gamma^{\mu}_{\lambda\sigma}T^{\sigma\nu}+
\Gamma^{\nu}_{\lambda\sigma}T^{\mu\sigma}
\ee
}
(この式は,アインシュタイン方程式からも導かれる。)

書き換えると
\bea
\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}&=&\partial_{\mu}T^{\mu\nu}+
\Gamma^{\mu}_{\mu\sigma}T^{\sigma\nu}+
\Gamma^{\nu}_{\mu\sigma}T^{\mu\sigma} \nn
&=&\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}\left(\sqrt{-g}T^{\mu\nu}\right)+
\Gamma^{\nu}_{\mu\sigma}T^{\mu\sigma}
\eea

ここで
\be
\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}\sqrt{-g}=
\frac{1}{2}g^{\lambda\sigma}\partial_{\mu}g_{\lambda\sigma}=
\Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda}
\ee
を使った。

\bigskip

\bea
T^{tt}&=&\frac{1}{e^{-2\delta}\Delta}\rho c^2 \\
T^{rr}&=&\Delta P \\
T^{ij}&=&\frac{1}{r^2}\tilde{g}^{ij}P \\
\eea
および
\bea
\Gamma^r_{tt}&=&e^{-2\delta}\Delta^2\left(-
\delta'+\frac{1}{2}\frac{\Delta'}{\Delta}\right) \\
\Gamma^r_{rr}&=&-
\frac{1}{2}\frac{\Delta'}{\Delta} \\
\Gamma^r_{ij}&=&-\Delta r \tilde{g}_{ij} \\
\eea
などを使うと,
\footnote{$\tilde{g}_{ij}dx^idx^j=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2$}
保存の式
\be
\nabla_{\mu}T^{\mu r}=0
\ee
は次のようになる。

\be
P'+\left(-\delta'+\frac{1}{2}
\frac{\Delta'}{\Delta}\right)\left(\rho c^2+P\right)=0
\ee

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{TOV方程式}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



アインシュタイン方程式とあわせると,
\be
-P'=\frac{4\pi G}{\Delta}r\left(\frac{1}{8\pi G}
\frac{1-\Delta}{r^2}+\frac{P}{c^4}\right)\left(\rho c^2+P\right)
\ee
を得る。
\be
\Delta=1-\frac{2 G M_r}{c^2 r}
\ee
とおくことにより

\underline{トールマン-オッペンハイマー-ヴォルコフ(TOV)方程式}
\be
-P'=\frac{4\pi G~r}{1-\frac{2G M_r}{c^2 r}}
\left(\frac{M_r}{4\pi r^{3}}+\frac{P}{c^2}\right)\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)
\ee
が得られる。

ニュートン近似では
\be
-P'=\frac{G M_r}{r^{2}}\rho
\ee
を得る。
ここで
\be
M_r(r)=4\pi\int_0^r \rho(r') {r'}^{2}dr'
\ee
である。

TOV方程式は,一般相対論的な静水平衡の式である。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{一様密度の星(R)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

密度が一定値$\rho_0$のときに,TOV方程式を解いてみよう。
\be
M_r(r)=\frac{4\pi}{3}\rho_0 {r}^{3}
\ee
となることに注意すると,
\be
\frac{P(r)+\rho_0 c^2}{3P(r)+\rho_0 c^2}=
\frac{\sqrt{1-\frac{r_g}{R}}}{\sqrt{1-\frac{r_g r^2}{R^3}}}
\label{inner}
\ee
と解ける。
ただしここで$P(R)=0$となる$R$が星の半径,
$r_g=\frac{2G}{c^2}\frac{4\pi}{3}\rho_0 {R}^{3}=\frac{2GM_{\star}}{c^2}$とした。

\begin{quote}
ex. 
非相対論的ポリトロープ$N=0$の場合と比較せよ。
\end{quote}

(\ref{inner})の左辺は$1/3$以上であるので,星の半径には下限があり
\be
R>\frac{9}{8}r_g
\ee
である。

\bigskip

計量は次のようになる。(ただし,$r0$なので$r_*<\pi$の場合)

\bigskip

重力質量
\bea
M&=&\frac{N_B}{4\pi}\sqrt{\tilde{g}}\frac{M_{pl}^2}{m_B} \nn
&=&\frac{N_B}{\sqrt{2}(4\pi)^{3/2}}\sqrt{g}\frac{M_{pl}^3}{m_B^2}
\eea


一般相対論的な考察(最大質量・・・)については,\cite{Jetzer1}
などを見よ。

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\subsection{重力崩壊}
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\subsubsection{重力崩壊(N)}
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半径$r$の星の表面に粒子があり,星が静止した状態から球対称のまま
収縮していくとすると\cite{佐藤文2}
\be
\frac{1}{2}\dot{r}^2-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{r_0}
\ee
ここで$\dot{~}$は時間微分。圧力などの力は働かないとしている。
したがってこの場合,星はダスト状の物質からなるとする。
この解を求めるため,
\be
r=r_0 \cos^2\frac{\theta}{2}
\ee
とおくと
\be
\frac{1}{2}r_0^2 \dot{\theta}^2=
\frac{GM}{r_0}\frac{1}{\cos^4\frac{\theta}{2}}
\ee
と書き直される。したがって解は
\be
t=\sqrt{\frac{r_0^3}{8GM}}(\theta+\sin\theta)
\ee
と表される。ただし,$t=0$のとき$r=r_0$とした。

$\theta=\pi$が$r=0$に対応するので,星が一点まで収縮するのにかかる時間は
\be
t_k\approx\sqrt{\frac{1}{G\rho}}
\ee
の程度といえる。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{重力崩壊(R)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

圧力無し,ダストからなる星の球対称重力崩壊を考えるとき,
計量は次のようにとれる($c=1$)。\cite{Weinberg1}
\be
-ds^2=-dt^2+a^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2(d\theta^2+
\sin^2\theta d\phi^2)\right)
\ee
アインシュタイン方程式から
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{1}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho
\ee
という方程式を得る。

\begin{quote}
ex. 
この方程式の解は?ただし,$\rho\propto a^{-3}$とする。
\end{quote}

\bigskip

重力崩壊(R)は最初にオッペンハイマー・シュナイダーによって
研究された。
オッペンハイマー・シュナイダー論文(Phys. Rev. 56 (1939))の
日本語訳(観山正見氏による)が「星の手帖」Vol. 23 1984年冬号
に載っている。(入手しにくいかな?)

\bigskip

最近でも,重力崩壊には興味深い現象がいろいろ見つかっていて,
研究が盛んに行われている。

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\subsection{ブラックホール(R)}
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星の内部圧力が有効でなくなると,星は重力崩壊を起こし
際限なく潰れていく。

前に見たように,ニュートン的取り扱いでも
脱出速度が光速となる半径が存在した。

一般相対論的に扱っても,光の出てこられない領域が存在することがわかる。

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\subsubsection{時空の計量}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

アインシュタイン方程式の真空球対称解は
\be
ds^2=-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c^2 dt^2+\frac{1}{1-\frac{r_g}{r}}dr^2+
r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\right)
\ee
ここで
\be
r_g=\frac{2GM}{c^2}
\ee

\bigskip

別の形の書き方として
$r=R\left(1+\frac{GM}{2Rc^2}\right)^2$とおけば計量は
\bea
ds^2&=&-\left(\frac{1-GM/(2Rc^2)}{1+GM/(2Rc^2)}\right)^2c^2 dt^2 \nn
&+&
\left(1+\frac{GM}{2Rc^2}\right)^4 \left[
dR^2+R^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\right)\right]
\eea
となる。

\bigskip

動径方向の光の軌道は
$ds^2=0$より
\be
\frac{dr}{dt}=\pm\left(1-\frac{r_g}{r}\right)
\ee
「光の速度」は,$r=r_g$に近づくと0になる!

$r_g$よりも内側からは光さえも出てこられない。
$r=r_g$の面を「事象の地平線(horizon)」と呼ぶ。

また,$r_g$をシュヴァルツシルト半径と呼ぶ。

\bigskip

太陽質量$M_{\odot}$のブラックホールの
Schwarzshild半径は約$3 {\rm km}$である。

\bigskip

$10^6 M_{\odot}$の質量のブラックホールの
Schwarzshild半径は$\approx 5 R_{\odot}$である。

この程度のブラックホールが銀河中心に存在すると考えられている。

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\subsubsection{ブラックホールの蒸発}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


ここでは,$G=\hbar=c=k_B=1$とする。

\bigskip

black holeの背景では,温度
\be
T_H=\frac{1}{8\pi M}
\ee
の系にいるのと等価である。
$T_H$をHawking温度という。

ちなみに,
\be
T_H=\frac{\kappa}{2\pi}
\ee
ここで$\kappa$はブラックホール表面の重力(加速度)。
\footnote{太陽質量のblack holeでは,$T_H\sim 10^{-7} {\rm K}$。}

\bigskip

熱力学関係式
\be
dU=TdS-PdV
\ee

において,内部エネルギー$U$をblack holeの質量$M$と同一視する。
(そして$dV=0$)

さらに温度はHawking温度とおくと
\be
dM=T_H dS
\ee

すなわち
\be
dS=8\pi M dM
\ee

積分すると
\be
S=4\pi M^2=\frac{4\pi (2M)^2}{4}=\frac{A}{4}
\ee

ここで$A$はhorizonの表面積。

ブラックホールはエントロピーをもっている!
\footnote{太陽質量のblack holeでは,$S\sim 10^{77}$。}

\bigskip

一般のブラックホールでも,
エントロピー$S$は$A/4$と表せる。
\footnote{$G$を復活させると,$S=\frac{A}{4G}$。}


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\subsubsection{その他のブラックホール}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

回転している,帯電している,極限の(extreme),高次元の,低次元の,
弦理論の,ブレーン上の,・・・,ブラックホール。

\bigskip

また,ブラックホールのまわりの降着円盤についてなど,
興味深い話題が多くある。

\newpage

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\section{銀河,銀河団と重力}
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\subsection{銀河の回転曲線}
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標準的な銀河は,$10^{11}$個の星,$10 {\rm kpc}$のひろがりをもっていて,
ゆっくりと回転している。

\bigskip

中心からの距離が$r$の星が一定の速さ$v$で円軌道を描いているとすると
\be
\frac{v^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2}
\ee
ここで$M(r)$は半径$r$の球の内部に含まれる質量。


十分$r$の大きいところなら$M(r)$は一定となるはず。
したがって十分大きい$r$については
\be
v\propto\frac{1}{\sqrt{r}}
\ee
となるはずである。
しかし観測からは,ほとんどの銀河において,$r$がかなり大きくても
\be
v\approx 一定
\ee

横軸に$r$,縦軸に$v$をプロットしたグラフを
回転曲線と呼ぶ。ほとんどの銀河で,回転曲線は平坦である。

\bigskip

星の見えないような銀河中心から離れたところにも,質量があるのだろうか?

光らない,このような仮説的物質(物体)を,
「ダークマター」と呼んでいる。


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\subsection{銀河団と重力}
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\subsubsection{多粒子系のエネルギー}
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多くの銀河は集まって銀河団を形成している。

\bigskip

銀河を粒子とみなす。互いの重力のみに支配されている系では\cite{Duric1}
\be
m_i\ddot{\vr}_i=-G\sum_{j(i以外)}\frac{m_im_j(\vr_i-\vr_j)}{|\vr_i-\vr_j|^3}
\ee


$\dot{\vr_i}$を内積して,$i$で和をとる。左辺では
\be
\sum_i m_i\ddot{\vr}_i\cdot\dot{\vr}_i=
\frac{d}{dt}\sum_i\frac{1}{2}m_i\dot{\vr}_i^2=\frac{dK}{dt}
\ee
と書くことができ,一方右辺では
\bea
-G\sum_{i,j}\frac{m_im_j(\vr_i-\vr_j)\cdot\dot{\vr}_i}{|\vr_i-\vr_j|^3}
&=&-G\sum_{i,j}\frac{m_im_j(\vr_j-\vr_i)\cdot\dot{\vr}_j}{|\vr_j-\vr_i|^3} \nn
&=&\frac{1}{2}G\sum_{i,j}m_im_j\frac{d}{dt}\frac{1}{|\vr_i-\vr_j|} \nn
&=&-\frac{dV}{dt}
\eea
とかけるので,
\be
\frac{d}{dt}(K+V)=\frac{dE_{tot}}{dt}=0
\ee
がいえる。

これは全力学的エネルギーの保存を表している。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{ビリアル定理}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



同じ方程式\cite{Duric1}
\be
m_i\ddot{\vr}_i=-G\sum_{j(i以外)}\frac{m_im_j(\vr_i-\vr_j)}{|\vr_i-\vr_j|^3}
\ee
に今度は$\vr_i$を内積し,$i$で和をとる。
\bea
\sum_i m_i\ddot{\vr}_i\cdot\vr_i&=&
\frac{d^2}{dt^2}\sum_i\frac{1}{2}m_i\vr_i^2-
\sum_i m_i\dot{\vr}_i^2 \nn
&=&\frac{d^2}{dt^2}I-2K
\eea
および
\bea
-G\sum_{i,j}\frac{m_im_j(\vr_i-\vr_j)\cdot\vr_i}{|\vr_i-\vr_j|^3}
&=&-G\sum_{i,j}\frac{m_im_j(\vr_j-\vr_i)\cdot\vr_j}{|\vr_j-\vr_i|^3} \nn
&=&-\frac{1}{2}G\sum_{i,j}\frac{m_im_j}{|\vr_i-\vr_j|} \nn
&=&V
\eea
となる。

$I$の2階微分の項は,系が力学的に平衡であるとすれば,平均として0になるので
\be
2K+V=0
\ee
を得る。(ビリアル定理)

したがって
\be
E_{tot}=K+V=-K=\frac{1}{2}V<0
\ee

$K$は銀河の運動の観測からわかるので,結局この関係式からポテンシャルの大きさ,
つまり系に含まれる質量が求められる。

\bigskip

観測から,光っている星や物質からの寄与では運動を説明するだけの質量が
達成できないことがわかる。ここにも「ダークマター」が存在するのだろうか?

\begin{quote}
2体でのビリアル定理は簡単に証明できる。
ここではさらに簡単のため,
$M>>m$,また質量$m$は等速円運動をしているとしよう。


\be
K=\frac{1}{2}mv^2
\ee
であり,また
\be
V=-\frac{GMm}{R}
\ee
である。

運動方程式
\be
\frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}
\ee
より
\be
K=-\frac{1}{2}V
\ee
がいえる。
\end{quote}


\newpage


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\section{膨脹宇宙と重力}
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\subsection{ニュートン的宇宙}
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\footnote{ゼーリガーのパラドクスについて何か言いたかったけど,割愛。}
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一様な密度分布をもち,圧力無しの物質(ダスト)を仮定する。\cite{Liddle1}
原点から$r$の位置にある粒子が動径方向に物質とともに運動しているとき,
力学的エネルギー保存から
\be
\frac{1}{2}\dot{r}^2-\frac{GM(r)}{r}=一定値
\ee
である。ここで$\dot{~}$は時間微分,また
\be
M(r)=\frac{4\pi}{3}r^3\rho
\ee
である。

物質とともに動く座標を
\be
\vr=a(t)\vx
\ee
($x$は一定。)と表すと$a(t)$に対する方程式は,
一定値を$kc^2x^2/2$とすると,
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{kc^2}{a^2}=\frac{8\pi G}{3} \rho
\label{ex1}
\ee

\bigskip

ハッブルの法則,銀河の距離と後退速度が比例すること,は
\be
\vv=\dot{a}(t)\vx=\frac{\dot{a}}{a}\vr\equiv H\vr
\ee
のように説明される。

現在のハッブル定数$H_0$は,観測から
\be
H_0=100h {\rm km/s/Mpc}
\ee
\be
h\approx 0.5〜0.85
\ee
である。


おとめ座銀河団の場合,
\be
v=1200 {\rm km/s}
\ee
なので
\be
距離=\frac{v}{H_0}=\frac{1200}{100 h} {\rm Mpc}=12 h^{-1} {\rm Mpc}
\ee
となる。
\footnote{銀河の距離は普通赤方偏移$z$で表す。近くの銀河については,
$z=v/c$となる。おとめ座銀河団の場合,$z\approx 4\times 10^{-3}$。}

\bigskip

熱力学第一法則
\be
dE=TdS-PdV
\label{netsu1}
\ee
において,内部エネルギーを今
\be
E=\frac{4\pi}{3}a^3\rho c^2
\ee
とすると
\be
\frac{dE}{dt}=4\pi a^2\rho c^2\frac{da}{dt}+
\frac{4\pi}{3}a^3\frac{d\rho}{dt} c^2
\ee
を得る。一方,
\be
\frac{dV}{dt}=4\pi a^2\frac{da}{dt}
\ee
であるから,(\ref{netsu1})は
\be
\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)=0
\label{ex2}
\ee
と表される。

\begin{quote}
ex. (\ref{ex1})と(\ref{ex2})から
\be
\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3P}{c^2}\right)
\label{Ein2d}
\ee
を導け。
\end{quote}

\bigskip

(\ref{Ein2d})は,以下のようにしても導くことができる。\cite{Zee1}

重力ポテンシャルについてのポアソン方程式は
\be
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho
\ee

一方,粒子の流れについてのEuler方程式は
\footnote{圧力の効果(右辺に$-\vnabla P/\rho$の寄与)を無視した。}
\be
\frac{\partial\vv}{\partial t}+(\vv\cdot\vnabla)\vv=-\vnabla\Phi
\ee

流れに対する連続の式は
\be
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vnabla\cdot(\rho\vv)=0
\ee

ここで物質は空間的に一様なダストだとすると
\be
\rho=\frac{C}{a^3(t)}
\ee
また,
\be
\vv=\vx\frac{\dot{a}}{a}
\ee
とする。

ポアソン方程式の解は
\be
\Phi=\frac{1}{2}x^2\frac{4\pi G\rho}{3}
\ee
なので,これを用いると
\be
\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G\rho}{3}
\ee
が示される。

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\subsection{相対論的宇宙論}
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一般相対論では時空全体を扱うことができるので,
宇宙自体の物理を議論することができる。

\bigskip

空間について,一様等方性を仮定すると,いくつかの種類の「空間の形」
が決定される。

\bigskip

まず,平坦な4次元空間で,半径1の「球面」を考える。
それを表す方程式は
\be
x^2+y^2+z^2+w^2=1
\ee
である。

この「球面」上では次のようにパラメータを使うことができる。
\bea
x&=&\sin\chi \sin\theta \cos\phi \\
y&=&\sin\chi \sin\theta \sin\phi \\
z&=&\sin\chi \cos\theta \\
w&=&\cos\chi
\eea

したがって,「球面」上での短い距離の自乗は
\bea
d\ell^2_{1}&=&dx^2+dy^2+dz^2+dw^2 \nn
&=&d\chi^2+\sin^2\chi(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)
\eea
これが一様等方な空間部分の計量の一つの候補である。


$r=\sin\chi$とおくと
\be
d\ell^2_{1}=\frac{dr^2}{1-r^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)
\ee

\bigskip

また,
\be
x^2+y^2+z^2-w^2=-1
\ee
で表される「超曲面」を考える。

この場合
\bea
x&=&\sinh\chi \sin\theta \cos\phi \\
y&=&\sinh\chi \sin\theta \sin\phi \\
z&=&\sinh\chi \cos\theta \\
w&=&\cosh\chi
\eea
とおくことができる。

短い距離の自乗は今度は次のようにとる。
\bea
d\ell^2_{-1}&=&dx^2+dy^2+dz^2-dw^2 \nn
&=&d\chi^2+\sinh^2\chi(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)
\eea

これも一様等方な空間部分の計量の一つの候補である。

$r=\sinh\chi$とおくと
\be
d\ell_{-1}^2=\frac{dr^2}{1+r^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)
\ee

\bigskip

一様等方な空間はつぎのようにまとめられる。
\be
d\ell_{k}^2=\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)
\ee
ここで$k$は,$1,0,-1$のいずれかである。$k=0$の場合は普通のユークリッド的
空間である。

\bigskip

\be
-ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)d\ell_{k}^2
\ee
という計量(ロバートソン-ウォーカー計量)でアインシュタイン方程式を書き下すと
その一部として
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{k}{a^2}=\frac{8\pi G}{3} \rho
\ee
というハッブル方程式が導かれる。ただし$c=1$とした。


\begin{quote}
ex.
(\ref{ex2})は,相対論的に成り立つ。$\nabla_{\mu}T^{\mu}_{\nu}=0$
と等価であることを示せ。
\end{quote}

\begin{quote}
ex.
以下のような場合にハッブル方程式を解け。

・物質が圧力なしのダストのとき($k=1,0,-1$について)(Friedmann universe)
\be
\rho\propto a^{-3}
\ee

・物質が光のようにほとんど質量を持たない粒子からなるとき
($k=0$について)
\be
\rho\propto a^{-4}
\ee
\end{quote}

\bigskip

最近の観測では,物質のほとんどは(70%)「宇宙項」によるものだとされている。
宇宙項の密度と圧力への寄与は
\be
P=-\rho c^2
\ee
というとても奇妙なものである。

\begin{quote}
ex.
$k=0$のとき,
宇宙項とダストのみを含む場合のハッブル方程式を解け。
\end{quote}


また,のこりの30%のほとんどは,光らない物質,ダークマターであるらしい。
\footnote{宇宙初期の元素合成の理論と観測から,
通常の物質の量は非常に少ないらしいことがわかっている。}

\newpage


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\section{初期宇宙と重力}
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\subsection{宇宙の大規模構造}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

現在の宇宙の銀河分布の観測から,
銀河の分布には大きな構造が存在することがわかる。
これらはどのようにしてできたのだろうか?

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{ゆらぎからの構造形成}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

物質分布の小さなゆらぎから天体ができる。\cite{祖父江1}


\bigskip

質量:$M$

密度:$\rho$

大きさ:$R$

\bigskip

速度$V$で収縮していくとすれば,構造形成の時間は
\be
t\approx\frac{R}{V}
\ee
加速度は重力で与えられる。
\be
\frac{V}{t}\approx\frac{GM}{R^2}
\ee
したがって
\footnote{重力崩壊のタイムスケールと同じ。}
\be
t\approx\frac{1}{\sqrt{G\frac{M}{R^3}}}\approx\frac{1}{\sqrt{G\rho}}
\ee

物質が次々圧縮されていくとすれば
\be
t<\frac{R}{v_s}
\ee
でなければならない。ここで$v_s$は音速。
したがって
\be
R>v_s t
\ee

この場合
$M_J\approx\rho\left(\frac{4\pi}{3}R^3\right)$をジーンズ質量と呼ぶ。

\bigskip

$t\approx 1億年$,
$v_s\approx 100 {\rm km/s}$
とすると

$R\approx 3.2\times 10^{17} {\rm km}\approx 10^4 {\rm pc}$,
$\rho\approx 10^{-27} {\rm g/cm^3}$,
$M_J\approx 1.4\times 10^{36} {\rm kg}\approx 7\times 10^5 M_{\odot}$

\begin{quote}
ex.
圧力と重力の均衡条件から求めても良い。\cite{Zee1}

自己重力エネルギーの変分
\be
\Delta\left(\frac{GM^2}{R}\right)\approx
\Delta\left(G\rho^2R^5\right)\approx
G\rho^2R^4\Delta R
\ee

圧力による仕事(の変分)
\be
P R^2\Delta R
\ee

これらが釣り合うときがジーンズ半径
\be
R_J=\frac{1}{\sqrt{G\rho}}\sqrt{\frac{P}{\rho}}
\ee
\end{quote}

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\subsection{ゆらぎの成長}
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ジーンズ質量程度のゆらぎが,圧力が効かなくなると成長しはじめる。\cite{佐藤文2}
\footnote{これはちょっと大雑把すぎるかな?(専門家には怒られる?)}

前にも出てきた基本的な方程式
\be
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho
\ee
\be
\frac{\partial\vv}{\partial t}+(\vv\cdot\vnabla)\vv=-\vnabla\Phi
\ee
\be
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vnabla\cdot(\rho\vv)=0
\ee
において,
\be
\rho=\frac{C}{a^3(t)}(1+\delta)=\rho_0(1+\delta)
\ee
\be
\vv=\frac{\dot{a}}{a}\vr+\vv_1=\vv_0+\vv_1
\ee
\be
\Phi=\frac{1}{2}x^2\frac{4\pi G\rho}{3}+\Phi_1
\ee
とすれば$\delta, \vv_1, \Phi_1$の線形近似で
\be
\nabla^2\Phi_1=4\pi G\rho_0\delta
\ee
\be
\frac{\partial\vv_1}{\partial t}+(\vv_1\cdot\vnabla)\vv_0+
(\vv_0\cdot\vnabla)\vv_1=-\vnabla\Phi_1
\ee
\be
\frac{\partial\delta}{\partial t}+\vnabla\cdot\vv_1+\vv_0\cdot\vnabla\delta=0
\ee
を得る。

$\frac{d}{dt}\equiv\frac{\partial}{\partial t}+
(\vv_0\cdot\vnabla)$とする。また簡単のため長波長のゆらぎのみ
考えて$\delta(t)$とする。
\be
\nabla^2\Phi_1=4\pi G\rho_0\delta
\ee
\be
\frac{d\vv_1}{dt}+\frac{\dot{a}}{a}\vv_1=-\vnabla\Phi_1
\ee
\be
\frac{d\delta}{dt}+\vnabla\cdot\vv_1=0
\ee
これらから
\bea
\vnabla\cdot\frac{d\vv_1}{dt}+\frac{\dot{a}}{a}\vnabla\cdot\vv_1&=&
-\nabla^2\Phi_1 \nn
&=&-4\pi G\rho_0\delta
\eea
\bea
\frac{d^2\delta}{dt^2}&=&-\frac{d}{dt}\vnabla\cdot\vv_1 \nn
&=&-\vnabla\cdot\frac{d\vv_1}{dt}+\frac{\dot{a}}{a}\vnabla\cdot\vv_1
\eea
ここで$\vnabla=\frac{1}{a}\vnabla_{\vx}$であることに注意する。

以上の式から
\be
\ddot{\delta}+2\frac{\dot{a}}{a}\dot{\delta}=4\pi G\rho_0\delta
\ee
を得る。

\bigskip

$a(t)\propto t^{2/3}$等を使うと
\be
\delta\propto t^{2/3}\propto a(t)
\ee
がわかる。

\bigskip

例えば$\delta\approx 10^{-4}$のゆらぎは,宇宙の大きさが10000倍になる頃には
非線形効果が効くくらいに成長している。

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\subsection{very early universe}
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\subsubsection{インフレーション}
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$\rho+3P/c^2<0$となるような物質の場合,
宇宙の大きさは加速的に大きくなる。

\bigskip

特に$\rho+P/c^2=0$の場合,
\be
\rho=\rho_v=一定
\ee
となることがわかるので,ハッブル方程式の解は($k=0$)
\be
a(t)\propto e^{Ht}
\ee
ここで
\be
H=\sqrt{\frac{8\pi G}{3}\rho_v}
\ee

\bigskip

インフレーション時の量子揺らぎが銀河形成の種となる揺らぎになる
過程を提供する。

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\subsubsection{位相欠陥}
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・宇宙ひも Cosmic string


まっすぐな「相対論的」“ひも”のつくるエネルギー運動量テンソル
($c=1$)
\be
T^{\mu}_{\nu}=\mu\delta(x)\delta(y)\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & & & \\
 & 0 & & \\
 & & 0 & \\
 & & & -1
 \end{array}\right)
\ee
ここで$\mu$は線密度。$\mu=v^2$


これをEinstein eqに代入すると解は
\be
-ds^2=-dt^2+dz^2+dr^2+(1-8G\mu)r^2d\theta^2
\ee

ここで
\be
\sqrt{1-8G\mu}\theta=\theta'
\ee
と書くと
\be
ds^2=-dt^2+dz^2+dr^2+r^2{d\theta'}^2
\ee
(平坦な空間)

宇宙ひもがまっすぐで静止していれば,まわりでは重力を感じない。

ただし
\be
0<\theta'<2\pi\sqrt{1-8G\mu}
\ee
でなければならない・・・「円錐」のような空間。

\bigskip

 $v=(大統一理論のスケール)\sim 10^{16} {\rm GeV}$

\be
G\mu\sim Gv^2\sim 10^{-6}\left(\frac{v}{10^{16}{\rm GeV}}\right)^2
\ee

\bigskip

 注目すべきことは

  ひもの近くにとどまっていても重力を感じない
\footnote{空間を,ひもの伸びている方向と2次元空間の積ととらえれば,
この奇妙な性質は3次元時空におけるアインシュタイン重力の性質に由来することがわかる。}

  しかし存在したとしたら近よるな!

もし存在すれば光速に近いので,やはり危険である。
\be
10^{-6}\times 3\times 10^{8} {\rm m/s}=300 {\rm m/s}
\ee
ひもの通過後,両側の物質はこのくらいの速度でぶつかり合う。

\bigskip


宇宙論における“ひも” cosmic string の興味深いところ

 @ それ自身の重力はほとんどない

 A ちぎれると重力作用をもつ←銀河の種

 B ひもの航路上に物質を集める→大規模構造

\bigskip

 ひもがたくさんある場合,

 それのつくるエネルギー密度

 単位長さあたりの質量密度$\sim \mu$ ($G\mu\sim 10^{-6}$)

\bigskip

\be
\rho_{cs}\propto \frac{\mu}{a^2}
\ee

ハッブル方程式
\be
3\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+3\frac{k}{a^2}=8\pi G\rho
\ee

\be
\rho=\rho_m+\rho_{cs}=\frac{\rho_0}{a^3}+\frac{\rho_{cs0}}{a^2}
\ee

 cosmic stringsの寄与は曲率と同じ程度のきき方

  Friedmann宇宙のふるまいに影響は少ない

\newpage


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\section{量子重力}
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$G$は物理的な次元を持った定数。

量子化は困難。

\bigskip

プランク長さ $\sqrt{\frac{G\hbar}{c^4}}\approx 10^{-33} {\rm cm}$

プランク時間 $10^{-43} {\rm s}$

プランクエネルギー $\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}c^2\approx 10^{19} {\rm GeV}$

\bigskip

以上のようなスケールを持つ系については,
量子重力の効果が無視できなくなるであろう。


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\subsection{量子宇宙論}
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計量を($c=1$)
\be
-ds^2=\sigma^2\left[-N^2 dt^2+a^2(t)d\ell^2_{1}\right]
\ee
とする。ここで$\sigma^2=\frac{2G}{3\pi}$である。

重力の作用(アインシュタイン-ヒルベルト アクション)プラス宇宙項の作用
\be
S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x \sqrt{-g}\left(R-2\Lambda\right)
\ee
にさきの計量を代入すると
\be
S=\int L dt=\int N\left[\frac{1}{2}a\left(1-
\frac{\dot{a}^2}{N^2}\right)-a^3\frac{\Lambda}{6}\right]
\ee

\begin{quote}
ex.
$N$で変分すると,ハッブル方程式が出ることを確かめよ。
\end{quote}

正準共役量$\Pi$を
\be
\Pi=\frac{\partial L}{\partial\dot{a}}=-\frac{a\dot{a}}{N}
\ee
とすると
ハミルトニアン$H$は
\bea
H&=&\Pi\dot{a}-L \nn
&=&N\left\{\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{a}\Pi^2-a\right]+
\frac{\Lambda}{6}a^3\right\}\equiv N{\cal H}
\eea

$N$で変分すると${\cal H}=0$!となっている。
閉じた宇宙では,物質と重力のエネルギーの総和は0であることになっている。

\bigskip

正準量子化の手続き
\be
\Pi\rightarrow -i\frac{d}{da}~~~~(\hbar=1)
\ee
にしたがい,波動関数$\Psi$を用意して
\be
{\cal H}\Psi=0
\ee
を波動方程式としよう。

\be
\left[-\frac{d^2}{da^2}+a^2-\frac{\Lambda}{3}a^4\right]\Psi=0
\ee

有効ポテンシャル
\be
V_{eff}=a^2-\frac{\Lambda}{3}a^4
\ee
は「山」をもつ。

\bigskip

ホーキング 経路積分 無境界境界条件

ヴィレンキン 無から(from nothing)の宇宙の創造

       量子力学的トンネリング

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\subsection{弦理論とM理論}
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弦理論(ストリング理論)では,ひもの振動が様々な粒子を表す。
閉じたひも(「わっか」)の理論には,必ず重力相互作用が含まれる(米谷)。

最近,braneという高次元の「膜」のような構造が存在しうることがわかった。
さらに「双対性」という性質などを使って,
弦理論を統一した「M理論」についての研究が盛んである。

われわれは一つのブレーンの上に住んでいる可能性がある。
その場合にも重力は,空間を高次元を伝わる。
\footnote{必ずしも「自由に」伝わらないが。}

このような考え方によると,なぜ重力だけが他の力よりも極端に「弱い」
かが自然に説明できる。

高次元の存在のため,mm くらいで逆自乗則からのずれが期待される。
\footnote{細かくはモデルによるが,例えば単純に
$r$離れた2物体の間の重力の大きさは,空間の次元が$D$のとき,
$\propto 1/r^{D-1}$となる。このような影響が短い距離で期待される。}

\newpage


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\section{重力波}
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連星からの重力波放出の確認の功績により,
ハルス,テイラーは1993年ノーベル賞を受賞した。

\bigskip

ここでは,平坦な時空からの小さなずれについて考える。
\be
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}
\ee
$h_{\mu\nu}$の添え字の上げ下げは$\eta^{\mu\nu}$等でおこなう。

\bigskip

リーマン曲率は
\be
R_{\lambda\sigma\beta\alpha}\approx -\frac{1}{2}\left(
\partial_{\lambda}\partial_{\beta}h_{\alpha\sigma}-
\partial_{\lambda}\partial_{\alpha}h_{\beta\sigma}-
\partial_{\sigma}\partial_{\beta}h_{\lambda\alpha}+
\partial_{\sigma}\partial_{\alpha}h_{\lambda\beta}
\right)
\ee
リッチ曲率は
\be
R_{\sigma\alpha}\approx -\frac{1}{2}\left(
\Box h_{\alpha\sigma}-
\partial_{\alpha}\partial_{\lambda}h^{\lambda}_{\sigma}-
\partial_{\sigma}\partial_{\lambda}h^{\lambda}_{\alpha}+
\partial_{\sigma}\partial_{\alpha}h
\right)
\ee
ここで
\be
h\equiv h^{\mu}_{\mu}=\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}
\ee

スカラー曲率は
\be
R\approx \eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=
-\Box h+
\partial_{\sigma}\partial_{\lambda}h^{\lambda\sigma}
\ee

アインシュタインテンソルは
\bea
& &R_{\sigma\alpha}-\frac{1}{2}g_{\sigma\alpha}R\approx
R_{\sigma\alpha}-\frac{1}{2}\eta_{\sigma\alpha}R \nn
&\approx& -\frac{1}{2}\left(
\Box h_{\alpha\sigma}-
\partial_{\alpha}\partial_{\lambda}h^{\lambda}_{\sigma}-
\partial_{\sigma}\partial_{\lambda}h^{\lambda}_{\alpha}+
\partial_{\sigma}\partial_{\alpha}h
-\Box h \eta_{\sigma\alpha}+
\partial_{\beta}\partial_{\lambda}h^{\lambda\beta}
\eta_{\sigma\alpha}
\right)
\eea
となる。

\bigskip

ここで
\be
\tilde{h}_{\mu\nu}\equiv h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h
\ee
とし,
ゲージ条件
\footnote{$g^{\mu\nu}\Gamma_{\mu\nu}=0$と等価。}
\be
\partial_{\mu}\tilde{h}^{\mu}_{\nu}\equiv 0
\ee
を課すと,アインシュタイン方程式より
\be
\Box \tilde{h}_{\mu\nu}=-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee
を得る。

\bigskip

この方程式は,物質の保存の式と矛盾しない。

\bigskip

また,物質のない真空では,波動方程式である。

\bigskip

アメリカではLIGO,
日本ではTAMA300などの重力波観測装置が来世紀観測を始める?

\newpage

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\section{Appendix}
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\subsection{定数}
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おもに\cite{PDG1}から採った。

\[
\begin{array}{rcl}
光速 & c & 299792458 {\rm m/s} \\
重力定数 & G & 6.67259(85)\times 10^{-11} {\rm m^3 kg^{-1} s^{-2}} \\
天文単位 & AU & 1.4959787066(2)\times 10^{8} {\rm km}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{rcl}
プランク質量 & \sqrt{\hbar c/G} & 1.221047(79)\times 10^{19} {\rm GeV/c^2} \\
 & &=2.17671(14)\times 10^{-8} {\rm kg} \\
パーセク & {\rm pc} & 3.0856775807(4)\times 10^{16} {\rm m} \\
 & & =3.262\ldots {\rm ly} \\
光年 & {\rm ly} & 0.3066\ldots {\rm pc} \\
 & &=0.9461\ldots\times 10^{16} {\rm m} \\
太陽のシュバルツシルト半径 & 2GM_{\odot}/c^2 & 2.95325008 {\rm km} \\
太陽質量 & M_{\odot} & 1.98892(25)\times 10^{30} {\rm kg} \\
太陽(赤道)半径 & R_{\odot} & 6.96\times 10^{8} {\rm m} \\
地球質量 & M_{\oplus} & 5.97370(76)\times 10^{24} {\rm kg} \\
地球(赤道)半径 & R_{\oplus} & 6.378140\times 10^{6} {\rm m}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{rcl}
銀河系中心まわりの太陽の回転速度 &   & 220(20) {\rm km/s} \\
銀河系中心と太陽の距離 &   & 8.0(5) {\rm kpc}
\end{array}
\]

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{球殻のつくる重力ポテンシャル}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\be
\Phi(r)=-2\pi a^2 G\lambda
\int_0^{\pi}\frac{\sin\theta d\theta}{\sqrt{r^2+a^2-2ar\cos\theta}}
\ee

\be
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{r^2+a^2-2arx}}=
\left[\frac{\sqrt{r^2+a^2-2arx}}{-ar}\right]_{-1}^{1}
\ee

\bea
& &r>a のとき~~~\frac{2}{r} \\
& &ra のとき~~~\Phi=\frac{G 4\pi a^2\lambda}{r} \\
& &r





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