一般の自己相互作用と2+1次元ボゾンスター
山口大理 坂本憲児 白石 清
ﾈ目次ﾇ
1. Introduction
2. ＢＳ解を求める
3. (2+1)次元ＢＳの物理量
4. 粒子数 vs 束縛エネルギー
5. まとめ
日本物理学会2000年春の分科会（近畿大学）2000年4月2日
§１. Introduction
Boson Stars
(review: Jetzer, Phys.Rep.220(92)163;
Liddle&Madsen, Int.J.Mod.Phys.D1(92)101)
は最もシンプルな自己重力系の例
銀河付近のダークマターの可能性，重力レンズ効果などが
調べられている。
最近，SchunckとTorresは，
U(1)対称性のある一般のポテンシャルをもつスカラーのモデルにおいて，ボゾンスターの性質を調べた。(gr-qc/9911038)
[自己相互作用が効く（未知の）粒子は，最近，
ダークマターの候補としても議論されている。]
(2+1)次元ボゾンスター
JHEP 07, 015 (1998) gr-qc/9804067
Phys. Rev. D58, 124017 (1998) gr-qc/9806040
・自己重力系として，次元の異なる場合の
類似点と相違点を明らかにする。
・負の宇宙項の値に対する依存性は？
・回転している場合の解析が容易。
・(3+1)次元でのひも状の構造
(nontopological string)への応用
今回は，一般のポテンシャルの場合に回転のない定常なボゾンスター解を考察する。
ポテンシャルの形の影響を見るため，自己相互作用の大きい極限について考える。
Action:
ポテンシャルはglobal U(1) 対称性を持つ。
は次を満たす。
Field equations:
C>0は負の宇宙項を表す。
§2. ＢＳ解を求める
回転なし，軸対称性を仮定
metric:
scalar field:
変数の置き換え（Jetzerさんのやり方と同様）
第一段階：
第二段階：
Einstein方程式およびscalar場の運動方程式より
ここで自己相互作用常数が非常に大きいとする。
すなわち
で近似すると
（Jetzerさん，Ryanさん，Colpi,Shapiro&Wasserman）
(1)
(2)
(3)
(4)
・・・ボゾンスターの外部 (5)または
・・・ボゾンスターの内部 (6)
(3),(4)より
(7)
を新しい
の関数に置き換えることにより，
は任意の関数とすることができる（“ゲージ自由度”）。ここでは次のように固定する。
(8)
すると(7)は解けて
(9)
ここで，ｔのスケールを変える自由度を用いた。
(3),(5),(6),(9)より
(10)
は
の関数なので(10)はすぐに積分できる。
積分定数は，原点での
の値
に集約される。
以下，
を用いると便利。
また，原点でconical singularityのないことを要請している。
ボゾンスターの外部ではBTZ解
(Banados,Teitelboim&Zanelli, PRL69(92)1849)
ここで
§３. (2+1)次元ＢＳの物理量
parameter 
BTZ mass: Mo
Particle Number: N
とする。
・質量も粒子数も小さいとき
・質量と粒子数はともに
で極大となる。
は次を満たす。
束縛エネルギー 
・
(φ4 potential)
・
(Cosh-Gordon)
・
(U(1)-Liouville)
・
・
・
(SUSY-inspired)
ポテンシャルの
の係数が０でなければ，
と規格化できる。このとき，
粒子数vs束縛エネルギーのグラフは，
ポテンシャルの形（高次の項）にあまりよらない。
・ポテンシャルによらないこと
グラフの端点は，(GmN, GEb)=(0, 0), (0, 0.125) 。
粒子数（あるいは質量）が最大のときに
束縛エネルギーが負ならば，GmN＞0.125 。
ポテンシャルの
の係数が０のとき
・
・
無次元化した結合定数がO(1)ならば，
粒子数vs束縛エネルギーのグラフは，
ポテンシャルの次数にもあまりよらない。
のとき
・C*が臨界値
=2.5268 ...
を越えると，あらゆる場合に束縛エネルギーは正になる。
のとき，C*の臨界値は
a に依存する。しかし，穏やかな変化である。
（パラメータ空間において，）
粒子数最大で束縛エネルギーが０となる曲線
§5
ﾈまとめﾇ
●ＢＳの物理量，とくに宇宙項のおおきさと束縛エネルギーの関係などは，相互作用ポテンシャルの形にあまりよらない。
（SchunckとTorresの(3+1)次元におけるＢＳの場合と同様）
●今回は自己相互作用が斥力として効いている場合。
●自己相互作用が引力として効く領域がある場合
ﾓ微分項は無視できない。「小さな」ＢＳ？
