よくかんがえたら，微分方程式からやらんとあかんのよね。
ちょっとまってね。
なんかできるまでは，講義ノートのなかの自然科学概論（短大用），その他をながめてください。（このノートも，わずかづつですが補填してます。）
これの一番重要な性質は，Cが定数のとき (d/dt)C=dC/dt=0 となること。Cがいくつでも，０でも同じであること。
質点の位置xがtの関数で表されるとする。 これにより質点の運動が記述される。
鉛直投げ上げとか習いました？鉛直方向の座標をxのかわりにzでかくと
z(t)=z0+v0t-1/2 gt2
これは一般の解。初期条件としてz0とv0が与えられた場合ですね。
この初期条件を一般の解からとりのぞけば， 条件を含まないから，いろんな条件に対して使える「法則」 がえられます。このためには，初期条件が2つあるので d/dtを二回使う。
(d/dt)2z(t)=(d2/dt2)z(t)=-g
こうやって得られた方程式は，結局初期条件を分離したもので， 具体的解よりも一段階，より普遍的なものとみなすことができる。もちろんまだこれを法則とまでいえるかは，わからないが。
で，まだ法則は何かをみる前に，次に単純な振動をみてみよう。 一番簡単な一次元の振動は，x(t)=A sin (ωt+δ) これのうち，初期条件で決まるのは何か？また それらをとりのぞくには？
振幅と位相は初期条件による。初期の位置と速度の２つの自由度にちゃんと対応。ωはバネの性質（つよさ）によるでしょう。 Aとδを消すには，(d/dt)sin(t)=cos(t), (d/dt)cos(t)=-sin(t)を思い出せば，
(d/dt)2x(t)=-ω2x(t)
するてーと右辺がまたちがうけど，左辺は再びｔの二階微分だね。すると一般に（1次元の）「運動方程式」は
(d/dt)2x(t)=
の形に書ける様な気がしてくる。
右辺が０のときは，（もう，くわしくかかないが，） 等速直線運動がこの方程式の解。 速度が一定の状態を表す。だから，右辺が０でなければ，一般に 速度が変化するということ。右辺に物体の性質による定数ｍを かけたものを「力」と呼ぼう。 つまり，力の存在は，運動の変化を意味する。
振動運動の例に戻ってみる。 今度は，任意定数のうち位相だけを取り除いてみよう。 sin2(t)+cos2(t)=1 をつかう。これを使うためには，一回微分を使って，
((d/dt)x(t))2+ω2x(t)2= A2ω2
おや，こうすると位相どころか，時刻ｔによらないものがつくれたぞ。 時間が経過しても，不変ということだ。 もともと，時刻の原点をかえたら，位相を変えただけ（Aは不変！） で同じ解になることが解る。この性質は運動方程式から実は明らかだった。 なぜならあらわに時刻に依存するものが入ってない！
もっと具体的にしめす。さっきつくった式の左辺
((d/dt)x(t))2+ω2x(t)2
を時間で微分すると
2((d/dt)x(t))[(d/dt)2x(t)+ω2x(t)]
これは運動方程式によれば，０だ！
ということは，運動方程式からみれば，一回積分したので， 当然積分常数は，一個分でてきたということ。解から見れば， 一回微分で定数が1個減ったということ。 これが考えている系のエネルギーだ。 （とつぜんつづく）
（つづくのか？）