01/21/1998

　　　量子力学演習（白石）


　　　　１。　次の一次元空間における波動関数を規格化せよ。

　　　　　１）　ψ(x)= exp (- x2/(4Δ2))

　　　　　２）　ψ(x)= 1/ (x2+a2)1/2

　　　　２。　一次元空間のシュレディンガー方程式

　　　　　　　　

　　　　　を満たす波動関数ψについて，

　　　　　１）　を示せ。ただしここで
　　　　　　　　，とする。
　　　　　２）　ψ=Aeikxと仮定したとき，ρ及びjxを求めよ。

　　　　
　　　量子力学演習（白石）


　　　　３。　
　　　　　　とするとき，
　　　　　　（λは実数）を用いて任意のf(x),g(x)について
　　　　　　が成立すること（Schwartzの不等式）を証明せよ。
　　　　　ただし，，とする。

　　　　４。　一次元空間で，ポテンシャルのないとき，質量mの粒子を考える。

　　　　　１）　次の関数はシュレディンガー方程式を満たすことを示せ。

　　　　　　　　　

　　　　　　　　ただし，C(k)は「よい性質を持つ」任意の関数。

　　　　　２）　C(k)をψ(x,0)を使って表せ。

　　　　　３）　のとき，（A，Δ，k0は定数）
　　　　　　　　ψ(x,t)を求めよ。

　　　　　４）　ψ(x,t)を用いて
　　　　　　（１）　xの期待値及びを求めよ。
　　　　　　（２）　運動量の期待値及びを求めよ。
　　　　　　（３）　ρ及びjxを求めよ。


　　　量子力学演習（白石）


　　　　５。　一次元のポテンシャル
　　　　　　　
　　　　　中の質量mの粒子の波動関数及びエネルギースペクトルを求めよ。

　　　　６。　質量mの粒子が一次元ポテンシャル
　　　　　　　
　　　　　の中にいるとき

　　　　　１）　束縛状態のエネルギーは（エネルギー E<0）次の関係を満たす
　　　　　　　ことを示せ。（波動関数ψ）

　　　　　　　tan ja=γ/j　ただし　ψ(-x)=ψ(x)　のとき
　　　　　　　cot ja=-γ/j　ただし　ψ(-x)=-ψ(x)　のとき

　　　　　ここで，とする。
　　　　　２）Wとaがどんな値の時でも，少なくともひとつは束縛状態が存在
　　　　　　　することを示せ。
　　　　　３）W→∞かつa→0の極限で，2Waは有限の値bだとすると，どうなるか。


　　　量子力学演習（白石）


　　　　７。　以下に示すポテンシャル
　　　　　　　
　　　　　があり，質量mの粒子がエネルギーE(＞W＞0)を持っている状態を考え
　　　　　る。波動関数として次の形を仮定する。
　　　　　　　
　　　　　このとき
　　　　　１）　|R|2，|T|2を求めよ。反射率，透過率を定義せよ。
　　　　　２）　流束の保存について確かめよ。

　　　　８。　質量m，エネルギーE(0＜E＜W)の粒子の流れが以下のようなポテン
　　　　　シャル障壁にぶつかるとする。
　　　　　　　　
　　　　　１）　このとき波動関数として
　　　　　　　　
　　　　　　とすると，|R|2，|T|2及び流束の保存はどうなっているか調べよ。
　　　　　２）　W→∞かつa→0の極限で，Waは有限の値bだとすると，
　　　　　　透過率，反射率はどう書けるか。


　　　量子力学演習（白石）


　　　　９。　一次元の調和振動子のハミルトニアンは次のように書ける。

　　　　　　　　（m，ωは定数。）

　　　　　　次の２つの演算子を定義する。
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　１）　次の関係を示せ。
　　　　　　　　，，[a,a+]=1
　　　　　２）　[H,a+]，[H,a]を求めよ。
　　　　　３）　au0=0を満たすu0を求めよ。u0はHの固有関数になっ
　　　　　　　ているか？
　　　　　４）　u0とa+を任意の個数用いて，Hの固有関数を作ることができる。
　　　　　　　その固有値と波動関数の規格化を求めよ。
　　　　　５）　Hの各固有状態についてx，x2，p，p2の期待値を求めよ。
　　　　　６）　Hの各固有状態について，運動エネルギーとポテンシャルエネル
　　　　　　　ギーの期待値を求めよ。
　　　　　７）　ハミルトニアンに，一様な電場との相互作用項
　　　　　　　　　
　　　　　　　がつけ加えられたとき，エネルギー固有値のスペクトルはどうなる
　　　　　　　か。


　　　量子力学演習（白石）


　　　１０。　質量mの粒子が一次元ポテンシャル
　　　　　　　　
　　　　　　の中で運動している。ただし，V0＞0，a＞0，b＞0とする。
　　　　１）　固有エネルギーE（＜V0）の波動関数が偶関数の時は
　　　　　　　　
　　　　　　が成立することを示せ。ただし，
　　　　　　　　，
　　　　　　とする。
　　　　２）　同様に，波動関数が奇関数の時はどのような関数式が存在するか。
　　　　３）　V0の値を増加させ，その値が無限大となる極限で，
　　　　　　基底状態（Eが最小の固有状態）のエネルギー固有値は
　　　　　　どのような値に近づくか。また第一励起エネルギーはどうなるか。
　　　　４）　V0が有限でbが十分小さいときの基底状態のエネルギーを求めよ。


　　　量子力学演習（白石）


　　　１１。　１次元の周期的井戸型ポテンシャルV(x)の中を運動する
　　　　　　質量mの粒子の固有状態を求める。ただしV(x)は
　　　　　　　
　　　　　　ここでnは任意の整数とする。
　　　　　　（これをKronig-Pennyのポテンシャルという。）

　　　　１）　このような場合，固有波動関数は次の形に書ける
　　　　　　（Blochの定理）。

　　　　　　　　ψ(x)=eiσxu(x)，u(x+a+b)=u(x)

　　　　　　ここでσは実数とする。これを用いて，エネルギー固有値を
　　　　　　定める式を求め，エネルギー値のスペクトルがバンド構造を
　　　　　　持つことを示せ。
　　　　２）　|V0|→∞，b→0の極限でかつ|V0|b=g（＞0）が有限のとき，
　　　　　　エネルギースペクトルはどうなるか。V0が正，負，の場合に
　　　　　　考察せよ。　　
　　　　３）　２）の場合で，V0が負のとき，さらに，E＜0
　　　　　　としたとき，Eをσの関数E(σ)とみて，グラフ上に
　　　　　　図示せよ。E(π/(2a))の値はいくらか？
　　　　４）　同様に，２）の場合で，V0が負のときを考える。
　　　　　　のときにE(σ)のグラフをかけ。

　　　　　参考文献：阿部寛　Mathematicaでみる数理物理入門II　講談社サイエンティフィク　p. 47
　　　　　　　　　　安田了・藤村行俊　Macintosh理系のスーパー技法　アジソン・ウェスレイ・パブリッシャーズ・ジャパン発行星雲社　p. 213