%Kiyoshi Shiraishi:宇宙物理学特論(MC)
%08/10/2000
%
宇宙物理学特論(MC)
%
全然未完成です。当分完成しそうもない。
%LaTeX2.09
%Kiyoshi Shiraishi 1997-1999
\documentstyle[12pt,graphics]{jarticle}
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\newcommand{\ee}{\end{equation}}
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%\newcommand{\vsigma}{{\bf \sigma}}
\newcommand{\vA}{{\bf A}} %vector potential
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\newcommand{\Tr}{{\rm Tr}}
\newcommand{\bx}{{x\!\!\!\mbox{-~}}}
%%%%%%%%%%%%%%%
%\hfill {ver. 1.0}
%%%%%%%%%%%%%%%
\title{宇宙物理学特論(MC)}
\author{
白石 清（山口大学理学部）
}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
相対論的宇宙論の話。
\end{abstract}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent
・宇宙物理学ってなに？
\smallskip
天体物理学 Astrophysics 天体とか
銀河をつくる
宇宙論 Cosmology 宇宙の発展 （初期宇宙）
\bigskip
本講義では，おもに「宇宙論」の話。
\bigskip
宇宙全体を扱うので，一般相対論（的重力理論）は必要不可欠。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{一般相対性理論の復習}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{時空の計量}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
時空の計量を線素（line element）で表す。
\be
-ds^2=\underbrace{g_{\mu\nu}}_{計量(metric)}
dx^{\mu} dx^{\nu}
\ee
これは「時空の距離の二乗」
\footnote{$$-ds^2=
\underbrace{\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3}_{省略}
g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$$}
$$\mu,\nu,\cdots=0,1,2,3$$
$$(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$$
\begin{quote}
\underline{例} 平坦（flat）な時空
Minkowski時空
\bea
-ds^2&=&-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 \nn
&=&\eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}
\eea
\be
(\eta_{\mu\nu})=\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & & & \\
& 1 & & \\
& & 1 & \\
& & & 1
\end{array}
\right).
\ee
\be
\eta_{\mu\nu}=\underbrace{diag.}_{対角成分}
(-1,1,1,1)
\ee
\end{quote}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{自由粒子の運動}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
（一般に）
曲がった時空内での
自由粒子の運動
↑
重力以外の力は入ってない
\bigskip
以下，特に必要な場合以外は，$c=1$とする。
\bigskip
自由粒子のaction
\be
I=-m\int_A^B ds
\ee
あるいは，「任意の」パラメータ$\tau$を使って
\be
I=-m\int\sqrt{-g_{\mu\nu}(x^{\lambda})
\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}}d\tau
\ee
$x^{\mu}(\tau)$は粒子の座標。
\bigskip
これから運動の方程式は
Euler-Lagrange equation (E-L eq.)
をつくれば求められる。
つまり
\be
I=\int L d\tau
\ee
としたとき，E-L eq.は
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\mu}}
\right)-\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=0
\ee
ただしここで
\be
\dot{x}^{\mu}\equiv\frac{dx^{\mu}}{d\tau}
\ee
である。
\bigskip
\be
L=-m\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}
\ee
について
\be
\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\lambda}}=
-m\frac{-2g_{\lambda\nu}\dot{x}^{\nu}}%
{2\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}=
m\frac{g_{\lambda\nu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}
\ee
\be
\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda}}=
-m\frac{-\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}%
{2\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}=
m\frac{\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}
\ee
であるから，E-L eq.は
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{g_{\lambda\nu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}\right)-
\frac{\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}%
{\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}}=0
\ee
となる。
\bigskip
ここで
\be
ds\equiv\sqrt{-g_{\rho\sigma}\dot{x}^{\rho}\dot{x}^{\sigma}}d\tau
\ee
とすると，方程式は次のように簡単になる。
\be
\frac{d}{ds}\left(g_{\lambda\nu}\frac{dx^{\nu}}{ds}\right)-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee
つまり
\be
g_{\lambda\nu}\frac{d^2x^{\nu}}{ds^2}+
\frac{dx^{\rho}}{ds}\frac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x^{\rho}}
\frac{dx^{\nu}}{ds}-
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee
ここで$g_{\lambda\nu}$の逆$g^{\sigma\lambda}$をつかう。
\be
g^{\sigma\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta_{\nu}^{\sigma}
\ee
E-L eq.は次のようになる。
\be
\frac{d^2x^{\sigma}}{ds^2}+
g^{\sigma\lambda}\frac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x^{\rho}}
\frac{dx^{\rho}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}-
\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}
\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}
\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee
\bigskip
これは最終的に次のようにまとめられる。
\be
\frac{d^2x^{\sigma}}{ds^2}+
\Gamma_{\rho\nu}^{\sigma}
\frac{dx^{\rho}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0
\ee
ここで
\be
\Gamma_{\rho\nu}^{\sigma}\equiv
\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}\left(
\frac{\partial g_{\lambda\rho}}{\partial x^{\nu}}+
\frac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x^{\rho}}-
\frac{\partial g_{\rho\nu}}{\partial x^{\lambda}}\right)
\ee
\bigskip
平坦な時空の場合はE-L eq.は
\be
\frac{d^2x^{\sigma}}{ds^2}=0
\ee
となり，その解は
\be
x^{\sigma}(s)=a^{\sigma}s+b^{\sigma}
\ee
\begin{quote}
\be
-g_{00}\approx 1+\frac{2\phi}{c^2}
\ee
としたとき，
非相対論的近似で粒子の運動方程式はどう書けるか。
（ただし，$\phi$はニュートンの重力ポテンシャル。）
\end{quote}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{重力場の方程式}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
重力場の方程式，すなわち計量の満たす方程式。
\bigskip
Einstein方程式
\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=
\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee
ここで$G$はニュートンの重力定数
$T_{\mu\nu}$は物質のエネルギー運動量テンソル
\bigskip
リーマンテンソル
\be
R^{\lambda}{}_{\sigma\mu\nu}\equiv
\partial_{\mu}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma}-
\partial_{\nu}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma}+
\Gamma^{\lambda}_{\mu\rho}\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}-
\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho}\Gamma^{\rho}_{\mu\sigma}
\ee
（ここで$\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$）
リッチテンソル
\be
R_{\sigma\nu}\equiv R^{\lambda}{}_{\sigma\lambda\nu}
\ee
スカラー曲率
\be
R\equiv g^{\sigma\nu}R_{\sigma\nu}
\ee
これらはみなテンソル
\bigskip
テンソルとは？
例えば ベクトル
\be
A_{\mu}\rightarrow
{A_{\mu}}'=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial {x^{\mu}}'}
A_{\nu}
\ee
例
一般に$\partial_{\mu}A_{\nu}$はテンソルではない
$\partial_{\mu}A_{\nu}-\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}A_{\lambda}$
はテンソル
$\partial_{\mu}B^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}B^{\lambda}$
はテンソル
\bigskip
\noindent
\underline{電磁相互作用の類推}
波動関数 $\psi$ に対して
位相変換 $\psi\rightarrow e^{i\lambda}\psi$
\bigskip
$\vnabla\psi$は（局所的）位相変換に対して
\bea
\vnabla\psi&\rightarrow&\vnabla\left(e^{i\lambda}\psi\right) \nn
&=&e^{i\lambda}\left(\vnabla\psi+i(\vnabla\lambda)\psi\right)
\eea
となるので，位相だけの変換の形とならない。
\bigskip
そこで次のもの（minimal coupling）を考える。
\be
\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi
\ee
$\vA$の変換性はいまわからないとしておき，
\be
\vA\rightarrow\vA'
\ee
とする。
\bigskip
位相変換に対して
\bea
\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi&\rightarrow&
\left(\vnabla-iq\vA'\right)e^{i\lambda}\psi \nn
&=&e^{i\lambda}\left(\vnabla\psi+i(\vnabla\lambda)\psi
-iq\vA'\psi\right)
\eea
となるので
\be
\vA'=\vA+\frac{i}{q}\vnabla\lambda
\ee
とすれば
\be
\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi\rightarrow
e^{i\lambda}\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi \nn
\ee
となり，$\psi$と$\left(\vnabla-iq\vA\right)\psi$は
全く同じような位相の変化のみとなる。
\bigskip
一般座標変換に対して
$\partial_{\mu}A_{\nu}-\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}A_{\lambda}$
や
$\partial_{\mu}B^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}B^{\lambda}$
は
テンソルとして変換する。
\bigskip
磁場の強さ
\bea
\vB&=&\vnabla\times\vA \\
F_{ij}&=&\partial_iA_j-\partial_jA_i \\
B_k&=&\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F^{ij}
\eea
$D_i\psi\equiv(\partial_i-iqA_i)\psi$とする。このとき
\bea
\left[D_i,D_j\right]\psi&\equiv&
\left(D_iD_j-D_jD_i\right)\psi \nn
&=&-iq\left(\partial_iA_j-\partial_jA_i\right)\psi \nn
&=&-iqF_{ij}\psi
\eea
位相変換に対して，$F_{ij}$が不変なことは，この導出により
自動的にわかる。
\bigskip
では，共変微分からつくられるテンソルは？
\bigskip
\be
\nabla_{\mu}A_{\nu}\equiv\partial_{\mu}A_{\nu}-
\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}A_{\lambda}
\ee
\bea
& &\left[\nabla_{\rho},\nabla_{\sigma}\right]A_{\mu} \nn
&=&
\partial_{\rho}\left(\nabla_{\sigma}A_{\mu}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\sigma}\left(\nabla_{\lambda}A_{\mu}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\left(\nabla_{\sigma}A_{\lambda}\right)-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
\partial_{\rho}\left(\partial_{\sigma}A_{\mu}-
\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}A_{\tau}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\left(\partial_{\sigma}A_{\lambda}-
\Gamma^{\tau}_{\sigma\lambda}A_{\tau}\right)-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
-\left(\partial_{\rho}\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}\right)A_{\tau}-
-\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}\left(\partial_{\rho}A_{\tau}\right)-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\partial_{\sigma}A_{\lambda}+
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\Gamma^{\tau}_{\sigma\lambda}A_{\tau}-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
-\left(\partial_{\rho}\Gamma^{\tau}_{\sigma\mu}-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\Gamma^{\tau}_{\sigma\lambda}\right)A_{\tau}-
(\rho\leftrightarrow\sigma) \nn
&=&
-R^{\tau}{}_{\mu\rho\sigma}A_{\tau}
\eea
ここで
\be
R^{\nu}{}_{\mu\rho\sigma}=\partial_{\rho}\Gamma^{\nu}_{\sigma\mu}-
\partial_{\sigma}\Gamma^{\nu}_{\rho\mu}+
\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}\Gamma^{\nu}_{\rho\lambda}-
\Gamma^{\lambda}_{\rho\mu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\lambda}
\ee
これはテンソルである。リーマンテンソルと呼ぶ。
\bigskip
リッチテンソルは
\be
R_{\mu\sigma}=R^{\nu}{}_{\mu\nu\sigma}
\ee
\bigskip
スカラー曲率は
\be
R=g^{\mu\sigma}R_{\mu\sigma}
\ee
\bigskip
アインシュタイン方程式
\be
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\ee
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{一様等方な宇宙}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{一様等方な空間と時空の計量}
\underline{宇宙原理}
宇宙（空間）は一様で等方である
\underline{宇宙時間} がとれる
計量
\be
-ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\underbrace{d\Omega_{(3)}^2}_{%
３次元空間の線素}
\ee
$a(t)$が長さの次元をもつとする。
$a(t)$は，スケールファクター
（空間座標は次元なし）
\bigskip
\bea
d\Omega_{(3)}^2(0)&=&dx^2+dy^2+dz^2 \nn
&=&d\chi^2+\chi^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\eea
\be
d\Omega_{(3)}^2(+)=
d\chi^2+\sin^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee
\be
d\Omega_{(3)}^2(-)=
d\chi^2+\sinh^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee
\bigskip
４次元空間内の３次元（単位）球面
\be
(X_1)^2+(X_2)^2+(X_3)^2+(X_4)^2=1
\ee
\be
\left\{
\begin{array}{l}
X_1=\sin\chi\sin\theta\cos\varphi \\
X_2=\sin\chi\sin\theta\sin\varphi \\
X_3=\sin\chi\cos\theta \\
X_4=\cos\chi
\end{array}\right.
\ee
\be
(dX_1)^2+(dX_2)^2+(dX_3)^2+(dX_4)^2=
d\chi^2+\sin^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee
\bigskip
４次元（非ユークリッド）空間内の３次元（単位）双曲面
\be
(X_1)^2+(X_2)^2+(X_3)^2-(X_4)^2=-1
\ee
\be
\left\{
\begin{array}{l}
X_1=\sinh\chi\sin\theta\cos\varphi \\
X_2=\sinh\chi\sin\theta\sin\varphi \\
X_3=\sinh\chi\cos\theta \\
X_4=\cosh\chi
\end{array}\right.
\ee
\be
(dX_1)^2+(dX_2)^2+(dX_3)^2-(dX_4)^2=
d\chi^2+\sinh^2\chi\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\ee
\bigskip
まとめると
\be
-ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\left[d\chi^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)\right]
\ee
$\chi<<1$のとき
$\sin^2\chi\approx\chi^2\approx\sinh^2\chi$ （われわれの近くでは区別がつかない）
\subsection{スケールファクターの満たす方程式}
\subsubsection{曲率の計算}
Einstein方程式の左辺につかうため
$R_{\mu\nu}$と$R$を計算する。
\be
R_{\mu\sigma}=\partial_{\nu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\mu}-
\partial_{\sigma}\Gamma^{\nu}_{\nu\mu}+
\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}\Gamma^{\nu}_{\nu\lambda}-
\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\lambda}
\ee
\bigskip
まず$\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}$を求める。
\bigskip
粒子の運動方程式
\be
\ddot{x}^{\mu}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\dot{x}^{\nu}
\dot{x}^{\sigma}=0
\ee
ここでは，$s$のかわりに$\tau$とした。
パラメータなので，何をとってもよい。
\bigskip
この方程式は，前に$L$からE-L eq.として導かれたが，
同じ式は次の$\tilde{L}$からも同様に導かれることがわかる。
\be
\tilde{L}=\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}
\ee
このほうが簡単。
これに具体的な計量を入れてから，
E-L eq.を書き下してみよう。
\bigskip
\be
\tilde{L}=\frac{1}{2}\left\{-\dot{t}^2+a^2(t)\left[\dot{\chi}^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)\right]\right\}
\ee
ここで$c=1$とした。
\bigskip
E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{t}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial t}=0
\ee
より
\be
-\ddot{t}-a\frac{da}{dt}\left[\dot{\chi}^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)\right]=0
\label{eq:EL0}
\ee
\bigskip
E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\chi}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\chi}=0
\ee
より
\be
\frac{d}{d\tau}\left(a^2\dot{\chi}\right)-a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)=0
\label{eq:EL1}
\ee
\bigskip
E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\theta}=0
\ee
より
\be
\frac{d}{d\tau}\left(a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\dot{\theta}\right)-a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0
\label{eq:EL2}
\ee
\bigskip
E-L eq.
\be
\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\varphi}}\right)-
\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\varphi}=0
\ee
より
\be
\frac{d}{d\tau}\left(a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\dot{\varphi}\right)=0
\label{eq:EL3}
\ee
\bigskip
(\ref{eq:EL0})より
\be
\ddot{t}+a\frac{da}{dt}\left[\dot{\chi}^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)\right]=0
\ee
運動方程式と係数を比較すると，次のものがわかる。
\be
\Gamma^0_{11}=a\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^0_{22}=a\frac{da}{dt}\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^0_{33}=\Gamma^0_{22}\sin^2\theta
\ee
\bigskip
(\ref{eq:EL1})より
\be
\ddot{\chi}+2\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\dot{t}\dot{\chi}-
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2\right)=0
\ee
運動方程式と係数を比較すると，次のものがわかる。
\be
\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^1_{22}=-
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^1_{33}=\Gamma^1_{22}\sin^2\theta
\ee
\bigskip
(\ref{eq:EL2})より
\bea
& &a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\ddot{\theta}+
2a\frac{da}{dt}
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\dot{t}\dot{\theta} \nn
&+&
2a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\dot{\chi}\dot{\theta}-a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0
\eea
運動方程式と係数を比較すると，次のものがわかる。
\be
\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^2_{33}=-\sin\theta\cos\theta
\ee
\bigskip
(\ref{eq:EL3})より
\bea
& &a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\ddot{\varphi}+
2a\frac{da}{dt}
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\dot{t}\dot{\varphi} \nn
&+&
2a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\}
\sin^2\theta\dot{\chi}\dot{\varphi}+
2a^2
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\sin\theta\cos\theta\dot{\theta}\dot{\varphi}=0
\eea
運動方程式と係数を比較すると，次のものがわかる。
\be
\Gamma^3_{03}=\Gamma^3_{30}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt},~~~
\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\ee
\bigskip
まとめると
\bigskip
\be
\Gamma^0_{11}=a\frac{da}{dt}
\ee
\be
\Gamma^0_{22}=a\frac{da}{dt}\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^0_{33}=\Gamma^0_{22}\sin^2\theta
\ee
\be
\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}=\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}=
\Gamma^3_{03}=\Gamma^3_{30}=\frac{1}{a}\frac{da}{dt}
\ee
\be
\Gamma^1_{22}=-
\left\{\begin{array}{c}
\sin\chi\cos\chi \\
\chi \\
\sinh\chi\cosh\chi
\end{array}\right\},~~~
\Gamma^1_{33}=\Gamma^1_{22}\sin^2\theta
\ee
\be
\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\}
\ee
\be
\Gamma^2_{33}=-\sin\theta\cos\theta,~~~
\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\ee
\bigskip
これらを用いると
\be
\Gamma^{\nu}_{\nu 0}=\Gamma^1_{10}+\Gamma^2_{20}+\Gamma^3_{30}=
3\frac{1}{a}\frac{da}{dt}
\ee
\be
\Gamma^{\nu}_{\nu 1}=\Gamma^2_{21}+\Gamma^3_{31}=
2\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos\chi}{\sin\chi} \\
\frac{1}{\chi} \\
\frac{\cosh\chi}{\sinh\chi}
\end{array}\right\}
\ee
\be
\Gamma^{\nu}_{\nu 2}=\Gamma^3_{32}=
\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\ee
\bigskip
リッチテンソルの成分の計算
\be
R_{\mu\sigma}=\partial_{\nu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\mu}-
\partial_{\sigma}\Gamma^{\nu}_{\nu\mu}+
\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}\Gamma^{\nu}_{\nu\lambda}-
\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\Gamma^{\nu}_{\sigma\lambda}
\ee
\bigskip
\bea
R_{00}&=&0-3\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)+
0-3\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)^2 \nn
&=&-3\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)-3
\left(\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)^2 \nn
&=&-3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}
\eea
\bigskip
\bea
R_{11}&=&\frac{d}{dt}\left(a\frac{da}{dt}\right)-
2\left\{\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sin^2\chi} \\
-\frac{1}{\chi^2} \\
-\frac{1}{\sinh^2\chi}
\end{array}\right\} \nn
&+&
\left(a\frac{da}{dt}\right)\left(3\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\right)-
\left(2a\frac{da}{dt}\frac{1}{a}\frac{da}{dt}+2
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\cos^2\chi}{\sin^2\chi} \\
\frac{1}{\chi^2} \\
\frac{\cosh^2\chi}{\sinh^2\chi}
\end{array}\right\}\right) \nn
&=&a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2
\left\{\begin{array}{c}
+1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right\}
\eea
\bigskip
$R_{22}$，$R_{33}$について計算してみよ。
他の成分は？
\bigskip
まとめ
\bigskip
\bea
R_{00}&=&-3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2} \\
R_{11}&=&a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2k \\
R_{22}&=&\left[a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2k
\right]\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\} \\
R_{33}&=&\left[a\frac{d^2a}{dt^2}+2\left(\frac{da}{dt}\right)^2+2k
\right]\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}\sin^2\theta
\eea
ここで
\be
k=\left\{\begin{array}{c}
+1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right\}
\ee
\bigskip
なお，その他の成分はゼロ。
\bigskip
さらにまとめると
\bea
R_{00}&=&-3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2} \\
R_{ij}&=&\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+2
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]
\right\}g_{ij}
\eea
($i,j=1,2,3$)
\bea
-ds^2&=&-dt^2+g_{ij}dx^idx^j \\
&=&-dt^2+a^2\left[d\chi^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)\right]
\eea
\bigskip
スカラー曲率
\bea
R&=&g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \nn
&=&3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+3
\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+2
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\} \nn
&=&6
\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}
\eea
\bigskip
アインシュタイン方程式
\be
R^{\mu}_{\nu}-\frac{1}{2}\delta^{\mu}_{\nu}R=8\pi G T^{\mu}_{\nu}
\ee
の左辺は
\bea
R^{0}_{0}-\frac{1}{2}R&=&
3\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}-3
\left\{\frac{1}{a}a\frac{d^2a}{dt^2}+\left[
\frac{1}{a^2}\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\} \nn
&=&-3
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]
\eea
\bea
R^{i}_{j}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{j}R&=&
\left[\left\{\frac{1}{a}a\frac{d^2a}{dt^2}+2
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}\right. \nn
&-&3\left.
\left\{\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}\right]
\delta^{i}_{j} \nn
&=&\left\{-2\frac{1}{a}a\frac{d^2a}{dt^2}-
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]\right\}
\delta^{i}_{j}
\eea
\subsubsection{エネルギー運動量テンソル}
アインシュタイン方程式の右辺
一様等方性より
\be
T^{\mu}_{\nu}=diag.(-\rho,p,p,p)
\ee
（エネルギー）密度：$\rho$
圧力：$p$
\bigskip
ちなみに
\be
T^{\mu}_{\nu}=(\rho+p)u^{\mu}u_{\nu}+p\delta^{\mu}_{\nu}
\ee
\be
u^{\mu}=(1,0,0,0)
\ee
\bigskip
\bea
T^0_0&=&-\rho \\
T^i_j&=&p\delta^i_j
\eea
\bigskip
これから，一様等方宇宙での
Einstein方程式は次の２式に帰着する。
\bea
3\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]&=&
8\pi G\rho \label{eq:E1}\\
2\frac{1}{a}\frac{d^2a}{dt^2}+
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]&=&
-8\pi G p \label{eq:E2}
\eea
\bigskip
物質に関わる式を出す。
\bigskip
(\ref{eq:E1})から
\be
\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]=
\frac{8\pi G}{3}\rho a^2
\ee
これを微分
\be
2\frac{da}{dt}\frac{d^2a}{dt^2}=
\frac{8\pi G}{3}\left(\frac{d\rho}{dt} a^2+
2\rho a\frac{da}{dt}\right)
\label{eq:E3}
\ee
(\ref{eq:E2})から
\be
2\frac{da}{dt}\frac{d^2a}{dt^2}+a\frac{da}{dt}
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]=
-8\pi G p a\frac{da}{dt}
\label{eq:E4}
\ee
(\ref{eq:E3})と(\ref{eq:E4})の差より
\be
-a\frac{da}{dt}
\frac{1}{a^2}\left[\left(\frac{da}{dt}\right)^2+k\right]=
\frac{8\pi G}{3}\left(\frac{d\rho}{dt} a^2+
2\rho a\frac{da}{dt}+3 p a\frac{da}{dt}
\right)
\ee
この左辺に(\ref{eq:E1})を代入
\be
-a\frac{da}{dt}
\frac{8\pi G}{3}\rho=
\frac{8\pi G}{3}\left(\frac{d\rho}{dt} a^2+
2\rho a\frac{da}{dt}+3 p a\frac{da}{dt}
\right)
\ee
整理すると
\be
\frac{d\rho}{dt}+3
\frac{1}{a}\frac{da}{dt}\left(\rho+p\right)=0
\ee
または
\be
\frac{d}{dt}\left(\rho a^3\right)+p
\frac{d}{dt}\left(a^3\right)=0
\ee
これが物質の保存の式になっている。
\begin{quote}
\noindent
\underline{exercise}
\be
T^{\mu}_{\nu}=(\rho+p)u^{\mu}u_{\nu}+p\delta^{\mu}_{\nu}
\ee
を用い，
\be
\nabla_{\mu}T^{\mu}_{\nu}=0
\ee
は，物質の保存の式になることをたしかめよ。
（$u^{\mu}u_{\mu}=-1$を使う。）
\end{quote}
\be
d\left(\rho a^3\right)+p
d\left(a^3\right)=0
\ee
$a^3\propto V$（体積）と思うと
$\rho a^3\propto U$（全エネルギー），ゆえに
\be
dU+pdV=0=TdS
\ee
という熱力学第一法則と解釈できる。
$S$はエントロピー。・・・一定
\bigskip
Einstein方程式(\ref{eq:E1})(\ref{eq:E2})を解くには
状態方程式が必要 （十分）
例： $p=\rho^{\gamma}$
\bigskip
まず，現在の
われわれの宇宙のモデルとして
\be
p<<\rho
\ee
を仮定してみる。
\bigskip
銀河→質点
十分大きな体積で平均してみてやる
物質としては圧力$=0$
のdust（ちり）のようなもの
\bigskip
$p=0$とおくと
\be
\frac{d}{dt}\left(\rho a^3\right)=0
\ee
\be
\rho a^3=一定
\ee
\bigskip
このとき（$p=0$）
(\ref{eq:E1})を変形
\be
\underbrace{\frac{1}{2}\left(\frac{da}{dt}\right)^2}_{%
運動エネルギー}\underbrace{-\frac{G\frac{4\pi}{3}a^3\rho}{a}}_{%
ポテンシャルV(a)}=\underbrace{-\frac{1}{2}}_{%
全エネルギー}
\ee
$k=0,k=-1$・・・どんどん膨張
$k=+1$・・・いつか戻る（収縮に転じる）
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{dust宇宙の発展}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ここからは，特に断らない限り，
\be
\dot{a}\equiv\frac{da}{dt}
\ee
とする。
\subsection{膨脹宇宙の物理量}
\be
H(t)\equiv\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}
\ee
\be
q(t)\equiv -\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}\frac{1}{H^2(t)}
\ee
\begin{quote}
\noindent
\underline{exercise}
$H$，$q$の次元は？
\end{quote}
dust宇宙では$\rho>>p$，したがって$p=0$と近似できる。
(\ref{eq:E1})より
\be
H^2(t)+\frac{k}{a^2(t)}=\frac{8\pi G}{3}\rho
\ee
(\ref{eq:E1})より
\be
-2H^2(t)q(t)+H^2(t)+\frac{k}{a^2(t)}=0
\ee
すなわち
\bea
2q(t)-1&=&\frac{k}{a^2(t)H^2(t)} \\
\rho(t)&=&\frac{3H^2(t)}{8\pi G}+\frac{3}{8\pi G}
\frac{k}{a^2(t)}
\eea
\bigskip
現在の時刻を$t_0$とする。
\be
H_0\equiv H(t_0),~~~q_0\equiv q(t_0),~~~a_0\equiv a(t_0)
\ee
とする。
$q_0$：（現在の）減速パラメータ
\be
2q_0-1=\frac{k}{a^2_0H^2_0}
\ee
より
\bea
q_0>\frac{1}{2}&\leftrightarrow&k=+1 \\
q_0=\frac{1}{2}&\leftrightarrow&k= 0 \\
q_0<\frac{1}{2}&\leftrightarrow&k=-1
\eea
原理的には観測から空間の形（曲率）に区別がつく。
\bigskip
$H_0$：（現在の）Hubble定数（スケールファクターの「膨張率」）
\be
\rho_0=\frac{3H^2_0}{8\pi G}+\frac{3}{8\pi G}
\frac{k}{a^2_0}
\ee
$\rho_c$：臨界密度 を次で定義する。
\be
\rho_c\equiv\frac{3H^2_0}{8\pi G}
\ee
\bea
\rho_0>\rho_c&\leftrightarrow&k=+1 \\
\rho_0=\rho_c&\leftrightarrow&k= 0 \\
\rho_0<\rho_c&\leftrightarrow&k=-1
\eea
\bigskip
$\Omega_0$：密度パラメータ を次で定義する。
\be
\Omega_0\equiv\frac{\rho_0}{\rho_c}
\ee
\be
\Omega_0-1=\frac{k}{a^2_0H^2_0}
\ee
\bea
\Omega_0>1&\leftrightarrow&k=+1 \\
\Omega_0=1&\leftrightarrow&k= 0 \\
\Omega_0<1&\leftrightarrow&k=-1
\eea
\subsection{dust宇宙のスケールファクターの解}
\subsubsection{厳密解}
(\ref{eq:E1})より
\be
\frac{\dot{a}^2}{a^2}+\frac{k}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho
\ee
\bea
\dot{a}^2+k&=&\frac{8\pi G}{3}\rho a^2 \nn
&=&\frac{8\pi G}{3}\rho a^3 \frac{1}{a} \nn
&=&\frac{8\pi G}{3}\rho_0 a_0^3 \frac{1}{a}
\eea
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a_0})\right)^2+\frac{k}{a_0^2}=
\frac{8\pi G}{3}\rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)
\ee
ここで
\bea
\frac{8\pi G}{3}\rho_0&=&H_0^2+\frac{k}{a_0^2} \\
2 q_0-1&=&\frac{k}{a_0^2H_0^2}
\eea
を代入
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a_0})\right)^2=
H_0^2\left\{\left(1-2q_0\right)+2q_0\frac{a_0}{a}\right\}
\ee
ここで
\be
x(t)\equiv\frac{a(t)}{a_0}
\ee
$t=0$で$x=0$とすると
\be
t=\frac{1}{H_0}\int_0^x \frac{dx'}{%
\sqrt{\left(1-2q_0\right)+2q_0\frac{1}{x'}}}
\ee
一番簡単なのは，$k=0$すなわち$q_0=\frac{1}{2}$のとき。
\bigskip
\noindent
\underline{$q_0=\frac{1}{2}$ $(k=0)$の場合}
\bea
t&=&\frac{1}{H_0}\int_0^x \frac{dx'}{\sqrt{\frac{1}{x'}}} \nn
&=&\frac{1}{H_0}\int_0^x \sqrt{x'} dx' \nn
&=&\frac{2}{3H_0}x^{3/2}
\eea
したがって
\be
x=\frac{a}{a_0}=\left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3}
\ee
ただし$t_0=\frac{2}{3H_0}$
図を参照。\footnote{%
$H_0=\dot{x}|_{t=t_0}$に注意。}
\bigskip
\noindent
\underline{$q_0>\frac{1}{2}$ $(k=+1)$の場合}
この場合
変数$x$を次のようにとる
\be
x=\frac{q_0}{2q_0-1}\left(1-\cos\theta\right)
\ee
\be
dx'=\frac{q_0}{2q_0-1}\sin\theta' d\theta'
\ee
\bea
t&=&\frac{1}{H_0}\int_0^{\theta}
\frac{\frac{q_0}{2q_0-1}\sin\theta' d\theta'}{%
\sqrt{\left(2q_0-1\right)\left(-1+\frac{2}{1-\cos\theta'}\right)}} \nn
&=&\frac{1}{H_0}\frac{q_0}{\left(2q_0-1\right)^{3/2}}\int_0^{\theta}
\sqrt{\frac{1-\cos\theta'}{1+\cos\theta'}}\sin\theta' d\theta' \nn
&=&\frac{1}{H_0}\frac{q_0}{\left(2q_0-1\right)^{3/2}}\int_0^{\theta}
\frac{\sin\frac{\theta'}{2}}{\cos\frac{\theta'}{2}}2\sin\frac{\theta'}{2}
\cos\frac{\theta'}{2} d\theta' \nn
&=&\frac{1}{H_0}\frac{2q_0}{\left(2q_0-1\right)^{3/2}}\int_0^{\theta}
\sin^2\frac{\theta'}{2} d\theta' \nn
&=&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\left(\theta-\sin\theta\right)
\eea
\be
\frac{1}{a_0^2H_0^2}=2q_0-1
\ee
を用いて，まとめると，（$a=a_0x$）
\bea
a&=&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\left(1-\cos\theta\right) \\
t&=&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\left(\theta-\sin\theta\right)
\eea
図のようなサイクロイド曲線のグラフが書ける。
\bigskip
\noindent
\underline{$q_0<\frac{1}{2}$ $(k=-1)$の場合}
この場合
変数$x$を次のようにとる
\be
x=\frac{q_0}{1-2q_0}\left(\cosh\psi-1\right)
\ee
\be
dx'=\frac{q_0}{1-2q_0}\sinh\psi' d\psi'
\ee
を使って同様に計算すると
\be
t=\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\left(\sinh\psi-\psi\right)
\ee
\be
\frac{-1}{a_0^2H_0^2}=2q_0-1
\ee
を用いて，まとめると，（$a=a_0x$）
\bea
a&=&\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\left(\cosh\psi-1\right) \\
t&=&\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\left(\sinh\psi-\psi\right)
\eea
この場合，
\be
\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{a}{t}=1
\ee
\subsubsection{$t\approx 0$のふるまい}
\noindent
\underline{$q_0>\frac{1}{2}$ $(k=+1)$の場合}
$t\approx 0\rightarrow \theta\approx 0$
\bea
x&\approx&\frac{q_0}{2q_0-1}\frac{\theta^2}{2} \\
t&\approx&\frac{q_0}{H_0\left(2q_0-1\right)^{3/2}}
\frac{\theta^3}{6}
\eea
なので
\be
x\approx\left(2q_0\right)^{1/3}\left(
\frac{3H_0}{2}t\right)^{2/3}
\ee
\noindent
\underline{$q_0<\frac{1}{2}$ $(k=-1)$の場合}
$t\approx 0\rightarrow \psi\approx 0$
\bea
x&\approx&\frac{q_0}{1-2q_0}\frac{\psi^2}{2} \\
t&\approx&\frac{q_0}{H_0\left(1-2q_0\right)^{3/2}}
\frac{\psi^3}{6}
\eea
なのでやはり
\be
x\approx\left(2q_0\right)^{1/3}\left(
\frac{3H_0}{2}t\right)^{2/3}
\ee
\bigskip
dust宇宙の初期では，
\be
x\approx\left(2q_0\right)^{1/3}\left(
\frac{3H_0}{2}t\right)^{2/3}
\ee
\bigskip
方程式(\ref{eq:E1})において，
$\rho\propto a^{-3}$であるので，$a$が小さいとき，
曲率項($k/a^2$)よりも密度の項が支配的である。
したがって，宇宙初期のスケールファクターの振る舞いは
曲率によらない。
\subsubsection{宇宙の年齢}
方程式(\ref{eq:E2})
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^2+k}{a^2}=0
\ee
と(\ref{eq:E1})をつかうと
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{8\pi G}{3}\rho <0
\ee
ゆえに$a(t)$のグラフは上に凸
ゆえに過去に必ず$a=0$になるときがある。
\bigskip
\noindent
\underline{dust宇宙での宇宙年齢}
\bigskip
\noindent
\underline{$q_0=\frac{1}{2}$ $(k=0)$の場合}
宇宙の年齢 $t_0=\frac{2}{3H_0}$
\bigskip
\noindent
\underline{$q_0>\frac{1}{2}$ $(k=+1)$の場合}
宇宙の年齢 $t_0<\frac{2}{3H_0}$
\bigskip
\noindent
\underline{$q_0<\frac{1}{2}$ $(k=-1)$の場合}
宇宙の年齢 $\frac{2}{3H_0}\frac{2}{3H_0}
\ee
\bigskip
なぜ年齢がのびるか
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^2}{a^2}=\Lambda
\ee
\be
2\frac{\ddot{a}}{a}=\frac{2}{3}\Lambda-\frac{8\pi G}{3}\rho
\ee
右辺第一項が右辺第二項よりも大きいときは$\ddot{a}>0$となるため。
\subsubsection{近似による宇宙年齢}
$t_0$を近似で求めたい。
\bigskip
・どこかで（$t=t_1$）
\be
\frac{8\pi G}{3}\rho_0\frac{a_0^3}{a_1^3}=\frac{\Lambda}{3}
\ee
となる。すなわち$rho$と$\Lambda$の寄与が同じ程度となる。
このとき
\be
\frac{a_0^3}{a_1^3}=\frac{\Lambda}{8\pi G\rho_0}=\frac{\lambda_0}{\Omega_0}
\ee
\bigskip
$tt_1$では，宇宙項のみが方程式に効くとする。
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{\Lambda}{3}
\ee
の解は
\be
a\propto e^{\sqrt{\Lambda/3}t}
\ee
\be
\frac{\dot{a}}{a}=\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}=H_0
\ee
とすれば
\be
a=a_0 e^{H_0(t-t_0)}
\ee
\bigskip
$t=t_1$で２つの解をなめらかにつなげる。
\be
a_1=a_0 e^{H_0(t_1-t_0)}
\ee
\be
\frac{2}{3}a_1\frac{1}{t_1}=H_0a_0 e^{H_0(t_1-t_0)}
\ee
したがって
\be
\frac{2}{3t_1}=H_0
\ee
宇宙年齢は
\bea
t_0&=&t_1+(t_0-t_1) \nn
&=&\frac{2}{3H_0}+
\frac{1}{3H_0}\ln\left(\frac{a_0}{a_1}\right)^3 \nn
&=&\frac{2}{3H_0}+
\frac{2}{3H_0}\ln\left(\sqrt{\frac{\lambda_0}{1-\lambda_0}}\right) \nn
&=&\frac{2}{3H_0}
\ln\left(\frac{\sqrt{\lambda_0}e}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)
\eea
\bigskip
厳密な値との比較
\bea
t_0&=&\frac{2}{3H_0}\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}\ln\left(
\frac{1+\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right) \nn
&=&\frac{2}{3H_0}\ln\left(
\frac{1+\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)^{
\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}} \nn
&=&\frac{2}{3H_0}\ln\left[\left(
\frac{\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)^{
\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}}
\left(1+\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}\right)^{
\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}}}
\right]
\eea
$\lambda_0\approx 1$のとき，これは
\be
t_0\approx\frac{2}{3H_0}\ln\left(
\frac{2\sqrt{\lambda_0}}{\sqrt{1-\lambda_0}}\right)
\ee
を与える。よい近似
$\lambda_0\rightarrow 1$に近づくと対数関数的に$t_0\rightarrow\infty$
\subsubsection{なぜ宇宙項を考えるか？}
１，観測的な宇宙年齢の問題
銀河や球状星団中の星の年齢と$t_0$の比較
２，dark matterの問題
見えている限りで観測される物質の量からは（せいぜい）
$\Omega_0\approx 0.2$
（残りは知られていない物質？）
３，銀河形成問題
$\Omega_0\approx 0.1, \lambda\approx 0.9$でうまくいく？
４，遠方の銀河の観測
赤方偏移から求めた距離によって期待される明るさよりも
暗い銀河が観測される
膨脹は加速している？
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{赤方偏移と距離}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{red shift}
時刻$t_1$にある場所から光を発し始める
時刻$t_0$に\underline{ここ}で光を受けたとする
\bigskip
光の経路 $ds^2=0$
\be
-ds^2=-dt^2+a^2(t)\left(d\chi^2+
\left\{\begin{array}{c}
\sin^2\chi \\
\chi^2 \\
\sinh^2\chi
\end{array}\right\}
d\Omega^2\right)
\ee
光の発したところと\underline{ここ}との座標（$\chi$）距離は
\be
\chi=\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)}
\ee
\bigskip
時刻$t_1+\delta t_1$に光をとめる
時刻$t_0+\delta t_0$に最後に受けたとする
\be
\chi=\int_{t_1+\delta t_1}^{t_0+\delta t_0}\frac{dt}{a(t)}
\ee
\bigskip
光を発した場所も受けた場所も座標の位置が変わらないとすると
\be
\int_{t_1+\delta t_1}^{t_0+\delta t_0}\frac{dt}{a(t)}=
\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)}
\ee
これから
\be
\frac{\delta t_1}{a(t_1)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)}
\ee
\bigskip
ここで
$t_1$から$t_1+\delta t_1$の間に送り出した
波頭の数は$t_0$から$t_0+\delta t_0$の間に受ける波の数と同じなので
\be
\underbrace{\nu_1}_{発した光の振動数}\delta t_1=
\underbrace{\nu_0}_{受けた光の振動数}\delta t_0
\ee
\bigskip
したがって波長の比は
\be
\frac{\lambda_0}{\lambda_1}=
\frac{\nu_1}{\nu_0}=
\frac{\delta t_0}{\delta t_1}=
\frac{a(t_0)}{a(t_1)}=
\frac{a_0}{a_1}
\ee
膨張している宇宙では発した光の波長よりも
観測した波長が長い
\bigskip
\noindent
\underline{定義}
\be
1+z=\frac{\lambda_0}{\lambda_1}
\ee
$z$: red shift (parameter)
\bigskip
\begin{quote}
見かけ上，Doppler効果のようなものと思うと
$z=\frac{v}{c}$に対応します(exercise)
\end{quote}
\subsection{dust宇宙でのred shiftと距離}
\subsubsection{座標距離}
$k=0$の場合
\be
a(t)=a_0\left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3}
\ee
ただし$\frac{3}{2}H_0t_0=1$
\bigskip
座標距離
\bea
\chi_1&=&\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)} \nn
&=&\frac{1}{a_0}t_0\int_{t_1}^{t_0}\left(\frac{t}{t_0}
\right)^{-2/3}\frac{dt}{t_0} \nn
&=&\frac{t_0}{a_0}\left[3x^{1/3}\right]_{x=t_1/t_0}^{x=1} \nn
&=&\frac{3t_0}{a_0}\left[1-\left(
\frac{t_1}{t_0}\right)^{1/3}\right] \nn
&=&\frac{2}{H_0a_0}\left[1-\left(
\frac{a_1}{a_0}\right)^{1/2}\right] \nn
&=&\frac{2}{H_0a_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right)
\eea
これが座標距離と$z$の関係
注：現在の実際の距離は$a_0\chi_1$
\subsubsection{明るさ（光の強さ）を元にした距離}
ユークリッド空間なら
光源の強さが解かっていれば距離が解かる
\bigskip
$L$：光源の強さ
$\ell$：みかけの明るさ
\be
\ell=\frac{L}{4\pi d_L^2}
\ee
$d_L$：距離 (luminosity distance)
\bigskip
宇宙膨張があるとき，
例えば
\be
L_1\propto\frac{h\nu_1}{\delta t_1}
\ee
\be
\frac{a_0}{a_1}=1+z
\ee
なので，
\bigskip
われわれが期待する
光源の強さ，
\be
L_0=\frac{1}{(1+z)^2}L_1
\ee
なんとなれば
１個の光子のエネルギー $\frac{1}{1+z}$倍
発する／受けとる時間間隔 $\frac{1}{1+z}$倍
\bigskip
さらに空間は一般に平らでないので，
\be
\ell=\frac{L}{4\pi a_0^2\rho^2(\chi_1)(1+z)^2}
\ee
ここで
\be
\rho(\chi)=\left\{
\begin{array}{c}
\sin\chi \\
\chi \\
\sinh\chi
\end{array}\right.
\ee
\bigskip
ゆえに
\be
d_L=a_0\rho(\chi_1)(1+z)
\ee
\begin{quote}
例 $k=0$
\be
\chi_1=\frac{2}{H_0a_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right)
\ee
だから
\be
d_L=\frac{2}{H_0}\left(1+z-\sqrt{1+z}\right)
\ee
\end{quote}
一般に
\be
d_L=\frac{1}{H_0q_0^2}\left[q_0z+
(q_0-1)(\sqrt{1+2q_0z}-1)\right]
\ee
\bigskip
$z<<1$のとき
\be
d_L=\frac{z}{H_0}\left[1+\frac{1}{2}(1-q_0)z+\cdots\right]
\ee
\bigskip
後退速度（Doppler効果）
\be
v=z=H_0d_L\left[1+\frac{1}{2}(q_0-1)H_0d_L+\cdots\right]
\ee
Hubbleの法則と，それからのずれ
\bigskip
\be
50{\rm km/s/Mpc}>mc^2$のときは
その粒子は質量ゼロのものとみなせる
$\rightarrow$radiationに寄与する
\bigskip
Einstein方程式を解く($T>>T_{eq}$)
\be
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=
\frac{8\pi G}{3}\rho_{rad}
\ee
\be
\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{\dot{T}}{T}
\ee
\be
\rho_{rad}=\frac{1}{2}g_{*}a_s T^4
\ee
$g_{*}$：``massless''の自由度の数
（$T>>m$）
例 光子のみ $g_{*}=2$
\bigskip
\be
\left(\frac{\dot{T}}{T}\right)^2=
\frac{4\pi G}{3}g_{*}a_s T^4
\ee
解は
\be
T(t)=\left(\frac{3c^2}{16\pi G g_{*}a_s}\right)^{1/4}
\frac{1}{\sqrt{t}}
\ee
\be
\frac{T}{1{\rm K}}=
\frac{1.8\times 10^{10}}{g_{*}^{1/4}}
\left(\frac{1{\rm sec}}{t}\right)^{1/2}
\ee
\be
\frac{T}{1{\rm MeV}}\approx
\frac{1}{g_{*}^{1/4}}
\left(\frac{1{\rm sec}}{t}\right)^{1/2}
\ee
$T=T_{rec}=4000{\rm K}$の時刻
$t_{rec}=10^{13}-10^{14}{\rm sec}\approx 10^6-10^7年$
（$1年\approx 3\times 10^7 {\rm sec}$）
\subsection{ニュートリノの温度}
$T\approx 1{\rm MeV}$あたりを考えます
$m_e\approx 0.5 {\rm MeV}$
電子 → 非相対論的
光子のエネルギーが低いので，電子陽電子対生成
\be
\gamma+\gamma\rightarrow e^-+e^+
\ee
が起きなくなる。（逆（対消滅）は起きる。）
ほぼ同じ頃弱い相互作用が効かなくなる。
ニュートリノは弱い相互作用しかしないので，
ニュートリノはエネルギーのやりとりをしなくなる。
電子陽電子対消滅によって，光子がふえる。
光子とニュートリノの「温度」に差ができる
\subsubsection{弱い相互作用の離脱}
・$T\approx 1{\rm MeV}$で弱い相互作用が効かなくなる
弱い相互作用
\be
\nu_e+\bar{\nu}_e\leftrightarrow e^-+e^+
\ee
\be
\nu_e+e^-\leftrightarrow \nu_e+e^-
\ee
弱い相互作用の反応率
\be
反応率=n\langle\sigma v\rangle
\ee
$n$：数密度
$\sigma$：断面積
$v$：速度 $v\approx c=1$
\be
n\propto T^3
\ee
\be
\sigma\approx G_F^2T^2
\ee
ここで$G_F$はFermi結合定数 $G_F\approx 10^{-5} ({\rm GeV})^{-2}$
次元解析からわかる。（エネルギーのスケールは温度しかない。）
ちなみに，$G_F$は$g^2/M_W^2$のオーダー。
\bigskip
反応率$<$膨張率（〜宇宙年齢）
のとき反応は効かなくなるといってよい
宇宙の膨張率$=\frac{\dot{a}}{a}=H$
\be
H\approx\sqrt{G}T^2=\frac{T^2}{M_p}
\ee
\be
M_p\equiv\sqrt{G}\approx 10^{19}{\rm GeV}
\ee
弱い相互作用が効かなくなるのは
\be
n\langle\sigma v\rangle < H
\ee
\be
G_F^2T^5<\frac{T^2}{M_p}
\ee
\be
T^3<\frac{1}{G_F^2M_p}
\ee
\be
T_{dec}\equiv\left(\frac{1}{G_F^2M_p}\right)^{1/3}
\ee
とすると$T1{\rm MeV}$
\be
s\propto\left(2+\frac{7}{8}\times 2\times 2\right)T_{\gamma 前}^3
\ee
（光子，電子陽電子（スピン自由度，粒子反粒子））
\bigskip
$T<1{\rm MeV}$
\be
s\propto\left(2\right)T_{\gamma 後}^3
\ee
\bigskip
\be
T_{\gamma 前}=T_{\nu}
\ee
\bigskip
\be
\frac{T_{\gamma 後}}{T_{\gamma 前}}=\frac{T_{\gamma 後}}{T_{\nu}}=
\left(\frac{11}{4}\right)^{1/3}\sim 1.4
\ee
したがって現在の光子の温度$T_{\gamma 0}=2.7 {\rm K}$とすると
$T_{\nu}=2.0 {\rm K}$くらいである
\subsection{元素合成}
$0.1{\rm MeV}\sim $1分
\bigskip
$T>1{\rm MeV}$では
\bea
n+\nu_e&\leftrightarrow&p+e^+ \\
n+e^+&\leftrightarrow&p+\bar{\nu}_e \\
n&\leftrightarrow&p+e^-+\bar{\nu}_e \\
\nu_e+\bar{\nu}_e&\leftrightarrow&e^-+e^+ \\
\nu_e+e^-&\leftrightarrow&\nu_e+e^-
\eea
など，
多くのものは熱平衡にある。
\bigskip
$p$，$n$のエネルギー密度は
\be
\rho c^2=m_Nc^2
\underbrace{\frac{2}{\pi^3}\left(\frac{m_NkT}{2\pi}\right)^{3/2}
e^{-\frac{m_Nc^2}{kT}}}_{n_N}
\ee
$n_N$：数密度
\be
\frac{n_n}{n_p}\approx e^{-\frac{(m_n-m_p)c^2}{kT}}
\ee
\be
m_n-m_p\approx 1.3 {\rm MeV}
\ee
$T\sim 1{\rm MeV}$くらいで熱平衡でなくなる。
あとは
\be
n\rightarrow p+e^-+\bar{\nu}_e \\
\ee
で$n_n$は減少する。
（寿命：$887\pm 2 {\rm sec}$）
（厳密な計算では重要）
\bigskip
${}^4He$合成のみちすじ
\bea
p+n&\leftrightarrow&{}^2H+\gamma \\
{}^2H+n&\rightarrow&{}^3H+\gamma \\
{}^2H+p&\rightarrow&{}^3He+\gamma \\
{}^3H+p&\rightarrow&{}^4He+\gamma \\
{}^3He+n&\rightarrow&{}^4He+\gamma
\eea
しかし
\be
{}^2H のbinding~energy \sim 2.2 {\rm MeV}
\ee
つまり低い温度でも${}^2H$は壊れやすい。
光子によって${}^2H$が壊されなくなるためには
\be
T
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